Правильный тетраэдр размещен в прямоугольной системе координат так что вершина имеет координаты

Правильный тетраэдр размещен в прямоугольной системе координат так что вершина имеет координаты

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна x. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую DM и параллельная прямой CL, делит ребро AB в отношении 3:1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

а) Пусть прямая MF, параллельная прямой CL, пересекает прямую AB в точке F.

Плоскость DMF параллельна прямой CL по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: А это и требовалось доказать.

б) Искомый угол между прямыми DM и равен углу DMF. Для удобства введем обозначение MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому:

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

Поскольку и подставляя числовые данные, получим:

Откуда

Ответ:

Аналоги к заданию № 507634: 511454 Все

В правильном тетраэдре SABC точка M — середина ребра AB, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка MN, если длина ребра AB равна 8.

а) Рассмотрим прямую MN, обе точки принадлежат обоим указанным плоскостям (SMC и ANB), то есть прямая MN есть прямая пересечения плоскостей SMC и ANB. Из точки S опустим на MN перпендикуляр SH (он лежит в плоскости SMC). Заметим, что прямая AB перпендикулярна плоскости SMC (так как прямая SM перпендикулярна прямой AB и прямая CM перпендикулярна прямой AB), следовательно, прямая SN перпендикулярна прямой AB. Тогда прямая AB перпендикулярна плоскости ABN и, значит, плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Рассмотрим равнобедренный треугольник SMC. В нём SC = 8, откуда Заметим, что NC = 2. По теореме косинусов для треугольника MNC:

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Для начала построим сечение PQR: проведем линию QP до пересечения с прямой AC (точка E). В плоскости грани ADC соединим точки E и R: линия ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.

Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.

Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим QP по теореме косинусов:

Теперь найдем угол BPQ (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Заметим, что как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):

Вычислим синус угла 2:

По теореме синусов для треугольника APE:

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:

Из этого же треугольника найдем угол CER (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Найдем синус угла ASE (на рисунке угол 2):

По теореме синусов для треугольника ASE:

*) см. примечание.

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: Выразим векторы и через базисные:

где откуда,

где откуда

Теперь найдем длины этих векторов (используя то, что а также тот факт, что

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

Ответ:

Примечание Дмитрия Гущина.

Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда В нашем случае: откуда то есть

Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из восьми равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (см. рис.). Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 0,6.

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников, каждый из которых имеет площадь равную с четверти площади грани исходного тетраэдра. Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 6.

На боковых ребрах SA и SB правильного тетраэдра SABC взяты точки E и F так, что

а) Докажите, что косинус угла между плоскостями CEF и ABC равен

б) Найдите площадь проекции треугольника CEF на плоскость основания АВС, если ребро тетраэдра равно 9.

а) Пусть K — середина AB, CK — высота, M — точка пересечения апофемы SK с EF (то есть плоскостью CEF), а M’ — проекция точки M на высоту CK. Из условия следует, что прямые EF и AB параллельны, тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая CM перпендикулярна прямой EF и угол MCK — линейный угол между плоскостями CEF и ABC. Найдём его косинус.

Пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда высота основания а высота пирамиды

Треугольники KMM’ и SOK подобны, при этом

б) Пусть E’ и F’ — проекции точек E и F соответственно. Тогда проекцией равнобедренного треугольника CEF является равнобедренный треугольник CE’F’. При этом его основание

Отсюда искомая площадь

Ответ: б)

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2 раза, объём увеличится в 8 раз.

Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра где — длина его ребра.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны Поэтому при увеличении ребер вдвое, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Площадь одного треугольника увеличится в 4 раза,а площадь всего тетраэдра увеличится в 16.

Пусть площадь первого и второго тетраэдров соответственно и а площади соответствующих треугольников и Тогда

Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Значит, сечением является квадрат со стороной 0,5. Тогда площадь сечения

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 4 раза?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 4 раза, объём увеличится в 64 раза. Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра где — длина его ребра.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 36 раз?

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны Поэтому при увеличении ребер в 36 раз, площадь поверхности увеличится в 1296 раз.

Ребра тетраэдра равны 38. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, и поэтому вдвое меньше параллельного ей ребра. Значит, сечением является квадрат со стороной 19. Тогда площадь сечения равна 361.

Ребра тетраэдра равны 32. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 16. Значит, сечением является квадрат со стороной 16. Тогда площадь сечения

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен

Ответ:

Источник

Правильный тетраэдр размещен в прямоугольной системе координат так что вершина имеет координаты

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM. Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра — KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.

Заметим, что M лежит на ребре SC, K — на ребре SB и являются основаниями соответствующих высот.

Поскольку прямая CB перпендикулярна прямым AB и CB, она перпендикулярна плоскости ABS. Плоскости ABS и CBS пересекаются по прямой BS, перпендикулярной AK, поэтому прямая AK перпендикулярна плоскости CBS.

Следовательно, тетраэдры SABC и CAKM имеют общую высоту AK, поэтому их объемы относятся как их основания.

Отрезок AK — высота прямоугольного треугольника ABS, проведенная к гипотенузе BS. Поэтому и

Далее, отрезок AM — высота прямоугольного треугольника CAS, проведенная к гипотенузе CS. Поэтому и

Итак, откуда

Ответ:

Укажем другой подход.

Найдем, какую часть объема исходного тетраэдра SABC составляют отсеченные тетраэдры KABC и SAKM.

Тетраэдры SABC и KABC имеют общее основание, поэтому их объемы относятся как их высоты. Высоты, в свою очередь, относятся как гипотенузы соответствующих подобных треугольников:

(использовано свойство прямоугольного треугольника, см. примечание).

Найдем, какую часть объема составляет оставшаяся часть тетраэдра:

Приведем ещё одно решение.

Объемы тетраэдров с сонаправленными ребрами относятся как произведения этих ребер. Поэтому:

Тогда

(*) Во всех решениях использована следующая теорема: в прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки и Отношение этих отрезков к гипотенузе равны и

В последнем решении можно было бы заметить, что откуда следует общая формула для ответа:

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

Пусть r —‍ искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r.‍ Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O‍ данного правильного тетраэдра.

Пусть шар радиуса r‍ с центром O‍₁,‍ вписанный в трёхгранный угол с вершиной D,‍ касается плоскости грани ABD‍ данного правильного тетраэдра ABCD‍ со стороной a‍ в точке P.‍

Пусть M —‍ центр основания ABC,‍ K —‍ середина AB,‍ φ —‍ угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK‍ находим, что

Значит, или откуда находим, что

Ответ:

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)

1. Рассмотрим грани ABC и ABD. Пусть M — точка пересечения медиан Δ ABC, N — треугольника ABD. И пусть K — середина AB. Точки C, D, M, N, K лежат в одной плоскости, коли они принадлежат двум пересекающимся прямым KC и KD. Поскольку KC : KM = KD : KN = 3 : 1, треугольники MKN и CKD гомотетичны с коэффициентом гомотетии (подобия) k = 3. По основному свойству гомотетии будем иметь: CD || MN, CD = 3MN.

Соединим отрезками точки: M и D, N и С. Точку пересечения MD с NC обозначим О.

Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.

2. Теперь докажем, что через точку О пройдут и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (рисунок 2).

Пусть L — середина ребра BC. В плоскости DKC через точку D проведем прямую, параллельную KC. Проведем также прямую KL, которая пересечет только что проведенную прямую в точке, которую обозначим P.

Пусть O₁ точка пересечения DM и KL.

Рассмотрим Δ KLC и Δ PLD. У них: ∠KLC = ∠PLD как вертикальные, ∠KCL = ∠ PDL как внутренние накрест лежащие при KC || PD и секущей DC, CL = DL. Тогда Δ KLC = Δ PLD — по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: KC = PD, KL = PL, ∠CKL = ∠BPL.

В Δ KO₁M и Δ PO₁D ∠KO₁M = ∠ PO₁D как вертикальные, ∠MKO₁ = ∠DPO₁ по ранее доказанному. Значит, откуда DO₁ : O₁M = PD : KM. Но как доказано выше, KC = PD. Следовательно, O₁D : O₁M = KC : KM = 3 : 1.

Итак, O₁D : O₁M = 3 : 1. Выше было доказано, что OD : OM = 3 : 1. Так как отрезок DM можно разделить в отношении 3 : 1, считая от точки D, единственным образом, то точки О и O₁ совпадут, то есть KL проходит через точку О. Совершенно аналогично можно доказать то, что отрезки, соединяющие середины ребер BC и AD, BD и AC, пройдут через точку О. И это — все то, что требовалось доказать.

б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a, CD = c, AD = b.

В соответствии с условием задачи:

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.

а) Построим указанные плоскости. Через точку B проведём прямую BL параллельную NA тогда первое сечение BLQ. Очевидно, что QB — также медиана и высота, значит,

В грани PMN проведем медиану, высоту, биссектрису MB, S — точка пересечения MB и NA. В плоскости MBQ проведем прямую ST параллельную BQ (где тогда второе сечение NAT. Заметим, что

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми NA и QB равно расстоянию между параллельными плоскостями NAT и BLQ. Найдем его, как — высоту тетраэдра QANT, проведенную из вершины Q. Вычислим где — высота, проведенная из вершины A. Пусть H — высота тетраэдра PQMN, тогда:

Вычислим теперь площадь треугольника NAT. Имеем:

Пусть, далее, тогда

откуда а Тем самым

Ответ: а) б)

Исходя из подобия треугольников и теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол, определим отношение объёмов тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол:

Таким образом, отношение объёмов равно отношению произведений трёх рёбер, исходящих из вершины общего трёхгранного угла каждого тетраэдра.

В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2.

а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.

б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно

а) Проведем через точку K прямую KL параллельную BC, где точка L лежит на AC. KL — средняя линия треугольника ABC. Угол между прямыми KE и ВС равен углу EKL, найдем его из треугольника KEL. Пусть O — проекция вершины D, E’ — проекция точки E на прямую KC и пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда

откуда

Вычислим высоту тетраэдра:

а значит,

Косинус угла EKL найдем, применяя теорему косинусов:

Таким образом,

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, параллельной ей и проходящей через другую прямую. Таким образом, искомое расстояние между прямыми BC и KE равно расстоянию между точкой С и и плоскостью KEL (плоскость KEL — проходит через прямые KE и KL, где прямая KL параллельна BC). То есть искомое расстояние — высота h_c тетраэдра CKEL, проведенная из вершины C.

Вычислим объем тетраэдра CKEL:

С другой стороны, где

Ответ: а) б)

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.

б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.

а) Рассмотрим проекцию B’ вершины тетраэдра B на плоскость ACD. Так как тетраэдр правильный, то точка B’ является центром грани ACD и лежит на медиане AP. Следовательно, проекция ребра AB будет отрезок AB’ — часть медианы AP. Точка M’ — проекция точки M является серединой отрезка AB’ и делит медиану AP в отношении 1 к 2, считая от вершины А.

б) Проекцией DM на грань ACD является DM’, поэтому искомый угол равен углу MDM’. Найдем его из треугольника MDM’. Обозначим ребро тетраэдра 2a. Тогда

Найдем высоту тетраэдра:

Точка M — середина AB, поэтому MM’ равна Найдем синус угла MDM’:

следовательно,

Ответ: б)

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD,

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

а) Продлим до пересечения с в точке Обозначим точку пересечения и за Тогда искомое сечение.

б) Из теоремы Менелая для треугольника ABC: Откуда следует, что CQ = CA.

Из теоремы Менелая для треугольника ADC: Из чего следует, что DP : PC = 3:1.

Приведем другое решение пункта б).

Напомним теорему Менелая для тетраэдра: точки A, P, N и K, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда

В нашем случае: откуда

В правильном тетраэдре ABCD точки K и M — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой AD.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью α — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если

а) Пусть точки P, E, N — середины рёбер BC, AC и BD соответственно. ME — средняя линия следовательно, Аналогично Следовательно, Значит, точки N, K, M, E лежат в одной плоскости, причём эта плоскость параллельна прямой AD. Значит, это и есть плоскость

Поскольку тетраэдр правильный, то (как средние линии равных правильных треугольников). Значит, KNME — ромб.

Далее, Следовательно, (соответственные медианы этих треугольников). Поскольку ромб KNME является также прямоугольником. Следовательно, KNME — квадрат.

б) Площадь квадрата KNME находится по формуле Следовательно,

Ответ: б)

В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.

Пусть площадь основания тетраэдра равна S, а высота h. Тогда радиус описанной сферы равен поэтому середина высоты DE (точка P) лежит на поверхности шара и противоположна E. Плоскость, перпендикулярная DE, параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому является касательной плоскостью к шару. Следовательно, O совпадает с P.

Опустим перпендикуляры из O и центра шара на грань ABD. Образуются два подобных прямоугольных треугольника, причем коэффициент подобия равен поэтому

Осталось найти r. Поскольку то поэтому ответ

Ответ:

а) Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

а) Введём систему координат, как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B, D, C₁ имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A₁C, отрезок A₁P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Отрезки C₁B, DB и DC₁ — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC₁P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A: Раcстояние от точки P до точки A равно

Ответ:

Приведём другое решение.

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC₁D — правильный.

Пусть Поскольку ABCD — квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник — прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как — верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Так как BO = OD (C₁O — медиана), и — правильный, то M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC₁, то есть центр описанной окружности.

Так как M — центр описанной окружности треугольника BC₁D и ∠C₁MC = 90°, то проекция точки P — точка M, тогда PB = PC₁ = PD.

Заметим, что по теореме косинусов

Так как значит, — правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) по теореме косинусов

Ответ:

Решение можно упростить? Доказательство того, что BPDC1-правильный тетраэдр, то, что BD=DC1=BC1 (диагонали рёбер куба?

Нет. Даже не всякая правильная треугольная пирамида является правильным тетраэдром.

В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.

а) Рассмотрим медиану CH в треугольнике CAD и медиану BH в треугольнике BAD. Заметим, что следовательно, Таким образом, треугольники HKM и HBC подобны, а прямые KM и BC параллельны.

б) Отрезок CK соединяет вершину C c точкой K — центром противоположной грани BAD, следовательно, CK — высота тетраэдра, и прямая CK перпендикулярна грани BDA. Тогда плоскость BCH перпендикулярна плоскости BAD, следовательно, проекция KM — это прямая BH, а искомый угол — HKM. Найдём его из треугольника KMH. Пусть ребро тетраэдра a, тогда По теореме косинусов,

а тогда

Ответ: б)

В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K — середина отрезка CH. BM — медиана боковой грани BCD.

а) Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK.

б) Найдите угол между DH и BM.

а) Пусть MK — средняя линия треугольника CDH. Тогда MK || DH, значит, и, следовательно, Кроме того,

б) Пусть длина ребра тетраэдра равна тогда имеем:

Ответ:

А ответ будет являтся правильным?

Да. Ведь это то же самое число.

А нельзя было в треугольнике ВМС провести прямую, параллельную высоте? Было бы легче и ответ выходит 60 градусов.

Плоскость BMC не содержит прямой параллельной высоте пирамиды.

В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD.

а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.

б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

а) Пусть ребро тетраэдра — высота грани — центр треугольника — средняя линия треугольника Тогда значит,

Точка O делит медиану DN в отношении считая от вершины D, поэтому

б) — искомый.Из пункта а) Далее имеем:

Ответ:

Обычно в условии пв начале пишется буква, которая является вершина. Или же дополнительно указывается какая точка вершина. Просто решение при таком условии меняется.

Уважаемый asdsd adadsa!

Во-первых, привет Гондурасу!

Во-вторых. в правильном тетраэдре все рёбра равны и все грани равны, поэтому различий в вершинах нет. Для остальных пирамид Ваше утверждение абсолютно верно

Если взять тре­уголь­ник ADN то AD и AN не равны, Сле­ло­ва­тель­но медиана AO из этого тре­уголь­ни­ка не будет высотой, а зна­чит AО не пер­пен­ди­ку­ляр­но BCD.

Да, в общем-то, ни о какой медиане в решении речи не было.

В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.

а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

а) Отрезки АМ и ВМ являются медианами в равносторонних треугольниках АСD и ВСD соответственно, поэтому прямая СD перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости АМВ. Следовательно, прямые АВ и СD перпендикулярны.

б) Пусть К — середина ребра АВ, а N середина отрезка НС. Тогда MN — средняя линия треугольника СDН, поэтому искомый угол равен углу BMN, а угол BNM прямой.

Обозначим ребро тетраэдра через 6x. Тогда имеем:

Ответ: б)

В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.

а) Пусть T — середина AD. Тогда откуда прямая KM параллельна прямой BC.

Обозначим ребро тетраэдра за тогда (высота правильного треугольника). Тогда в равнобедренном треугольнике BTC имеем

Ответ: б)

В правильном тетраэдре ABCD точки K и N середины рёбер AB и AD соответственно. Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Расстояние между прямыми KN и DO равно 3. Найти площадь сечения тетраэдра проходящего через середины трёх смежных рёбер.

Обозначим за M середину ребра AC.

Поскольку KN — средняя линия треугольника ADB, то Поэтому

(поскольку

Поэтому

Ответ:

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC — точка L, на ребре BD — точка N, на ребре СD — точка M. Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG, KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.

Для начала построим искомое сечение.

В итоге получаем параллелограмм, площадь которого можно найти так:

где Из подобия треугольников ABD и KBN по 2 углам ( — общий; как соответственные при параллельных прямых) получим соотношение:

Аналогично подобны треугольники ABC и AKL, откуда получаем:

Окончательно получим:

Ответ: —>

Пусть Тогда

Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем поэтому

По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем поэтому Тогда имеем

Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде и в виде

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим поэтому этот вектор раскладывается как

Теперь пусть

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим

Итак,

Значит, поэтому KLMN — параллелограмм и

Ответ:

Пусть Тогда

Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем поэтому

По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем поэтому Тогда имеем

Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде и в виде

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим поэтому этот вектор раскладывается как

Теперь пусть

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим

Итак,

Значит, поэтому KLMN — параллелограмм и

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

а) Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость параллельна прямой по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: Это и требовалось доказать.

б) Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α.

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

Поскольку и подставляя числовые данные, получим:

Откуда

Ответ:

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC.

а) Заметим, что проекция прямой на плоскость — это прямая , на которой лежит высота треугольника . Поэтому , а значит, по теореме о трех перпендикулярах, . Что и требовалось доказать.

б)Пусть — середина ребра а — середина отрезка Прямая лежит в плоскости параллельной прямой Поэтому искомое расстояние равно расстоянию от прямой до плоскости

Опустим из точки перпендикуляр на прямую Тогда и нам остаётся найти длину отрезка Отношение поэтому точки и делят отрезок на три равные части длиной каждая. Пусть В треугольнике

Следовательно, Из треугольника находим, что

Ответ:

Источник