Правильный многоугольник это что

Правильный многоугольник

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

В геометрии политоп (многогранник, многоугольник или замощение, например) изогонален или вершинно транзитивен, если, грубо говоря, все его вершины эквивалентны. Отсюда следует, что все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями.

В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный.

Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Многогранник размерности 3 и выше называется изоэдральным или гране транзитивным, если все его грани одинаковы. Точнее сказать, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны прилежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая отображает A в B. По этой причине выпуклые изоэдральные многогранники имеют формы правильных игральных костей.

Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.

Источник

Геометрия

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

Источник

Правильные многоугольники

В Евклидова геометрия, а правильный многоугольник это многоугольник то есть равносторонний (все углы равны по мере) и равносторонний (все стороны одинаковой длины). Правильные многоугольники могут быть либо выпуклый или же звезда. в предел, последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближает круг, если периметр или же площадь фиксированный, или обычный апейрогон (фактически прямая линия), если длина ребра фиксированная.

Содержание

Общие свойства

Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, выпуклым или выпуклым. звезда.

Обычный п-сторонний многоугольник имеет вращательная симметрия порядка п.

Обычный п-сторонний многоугольник может быть построен с компас и линейка если и только если странный основной факторы п отличны Простые числа Ферма. Видеть конструктивный многоугольник.

Симметрия

Правильные выпуклые многоугольники

An п-сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается его Символ Шлефли <п>. За п Моногон <1>Вырождаться в обычное пространство. (Большинство авторитетов не рассматривают моногон как истинный многоугольник, отчасти из-за этого, а также из-за того, что приведенные ниже формулы не работают, а его структура не соответствует ни одной абстрактный многоугольник.) Дигон <2>; «двойной отрезок» Вырождаться в обычное пространство. (Из-за этого некоторые авторитеты не считают двуугольник настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые полигоны будут правильными. В таких условиях приставка обычная принято опускать. Например, все лица равномерные многогранники должны быть правильными, а грани будут описаны просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Для правильной выпуклой п-угольник, каждый внутренний угол имеет размер:

Диагонали

Для регулярного п-угольник, вписанный в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех других вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно п.

Очки в плоскости

Для обычного простого п-гон с по окружности р и расстояния d_я из произвольной точки на плоскости к вершинам имеем [1]

Внутренние точки

Circumradius

В по окружности р от центра правильного многоугольника до одной из вершин зависит от длины стороны s или в апофема а к

Сумма перпендикуляров от правильного п-угольника к любой прямой, касающейся описанной окружности, равно п умноженное на радиус описанной окружности. [3] : п. 73

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного п-угольник в любую точку его описанной окружности равно 2nR 2 куда р это радиус описанной окружности. [3] : стр.73

Расслоения

Пример сечения для выбранных правильных четных многоугольников

2м	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Изображение
Ромбы	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Площадь

Площадь А выпуклой регулярной п-сторонний многоугольник, имеющий сторона s, по окружности р, апофема а, и периметр п дан кем-то [7] [8]

Из всех п-угольники с заданным периметром, тот, у которого наибольшая площадь, правильный. [19]

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко строить с циркулем и линейкой; другие правильные многоугольники вообще невозможно построить. древнегреческие математики умел построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, [20] : п. xi и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. [20] : стр. 49–50 В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все обычный п-угольники с циркулем и линейкой? Если нет, то какой п-угольники можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность регулярного 17-угольник в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию Гауссовские периоды в его Disquisitiones Arithmeticae. Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие для конструктивности правильных многоугольников:

Обычный п-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если п является произведением степени двойки и любого количества различных Простые числа Ферма (в том числе ни одного).

Правильные косые многоугольники

В куб содержит перекос регулярный шестиугольник, видно как 6 красных краев, зигзагообразных между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба.

Зигзагообразные боковые края п-антипризма представляют собой правильный перекос 2п-угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме.

А обычный наклонный многоугольник в 3-м пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемые как боковые края однородной антипризма. Все края и внутренние углы равны.

В Платоновы тела (в тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, и икосаэдр) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем смысле правильные косые многоугольники можно определить в п-Космос. Примеры включают Полигоны Петри, многоугольные пути ребер, разделяющих правильный многогранник на две половины и выглядит как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники стать перекосом апейрогоны.

Правильные звездчатые многоугольники

Для п-сторонний звездный многоугольник Символ Шлефли изменен, чтобы указать плотность или «звездность» м многоугольника, как <п/м>. Если м равно 2, например, каждая вторая точка присоединяется. Если м равно 3, то присоединяется каждая третья точка. Граница многоугольника огибает центр м раз.

(Невырожденные) правильные звезды с числом сторон до 12:

м и п должно быть совмещать, иначе фигура выродится.

Вырожденные правильные звезды с числом сторон до 12:

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения разнятся относительно природы вырожденной фигуры. Например, <6>можно лечить одним из двух способов:

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны для конгруэнтности, а для нечетных п они самодвойственны идентичности.

Кроме того, правильные звездные фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также самодуальны.

Правильные многоугольники как грани многогранников

А равномерный многогранник имеет правильные многоугольники как грани, так что для каждых двух вершин существует изометрия отображение одного в другой (точно так же, как для правильного многоугольника).

А квазирегулярный многогранник представляет собой равномерный многогранник, у каждой вершины которого чередуются грани двух типов.

А правильный многогранник представляет собой равномерный многогранник с одной гранью.

Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными лицами известны как Твердые тела Джонсона.

Многогранник с правильными треугольниками гранями называется многогранником. дельтаэдр.

Смотрите также

Примечания

Выражения для п= 16 получаются двойным применением формула касательного полуугла загорать (π / 4)

Источник