Постройте дедуктивное умозаключение доказывающее что 130 делится на 10
Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
В логике есть закон достаточного основания. Он утверждает, что если есть истинное суждение А, то может быть найдено такое В, из которого оно следует. При этом суждение В называется основанием для суждения А. Этот закон очень важен для математики и методики ее преподавания. Любое суждение в математике, кроме утверждений, принимаемых без доказательств и определений, не считается истинным «просто так» потому, что так кажется тому, кто его делает. Математика — это наука, логически локально упорядоченная Это значит, что любой раздел математики содержит определенные суждения, истинность которых вытекает из истинности других суждений. Эти другие суждения, в свою очередь, вытекают из других и т.д. Спрашивается, а где же исходные суждения? Ведь не может быть так, что эта цепочка следований бесконечна. Конечно, всегда есть начальные утверждения (они называются аксиомами), из которых с помощью логики и математических суждений следуют другие математические суждения. Все истинные суждения в математике, кроме аксиом и определений, оказываются, таким образом, доказываемыми. Они называются теоремами.
Однако такой подход неинтересен ни с математической, ни с дидактической точки зрения. С дидактической точки зрения этот подход не объясняет, зачем вообще нужно умножение, а с математической он является неэкономным, потому что пришлось ввести слишком много аксиом. Математическая (да, пожалуй, и любая другая) теория старается обойтись минимальным количеством недоказываемых предложений (аксиом).
Поэтому вводят определенные умножения аb как а+а+.-.+а, т.е. как сумму слагаемых а, взятых b раз (b>1).
Таким образом, к моменту изучения умножения в обучении и к моменту построения теории умножения в математике сложениеуже считается изученным, и вопрос о правильности таблицы умножения получает такой ответ. Да, таблица умножения правильна, еслимы правильно складываем натуральные числа, т.е. если правильна таблица сложения.
Заметим, что проблемы обоснования очевидных и давно известных положений занимают в нашем курсе основное место. Это создает довольно большие психологические трудности в изучении материала. Итак, закон достаточного основания для математики играет огромную роль. Все утверждения математики стараются вывести из других утверждений. Те же простейшие утверждения, которые не выводятся из других утверждений, называются аксиомами, а метод построения теории на основе нескольких аксиом называется аксиоматическим методом.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Цель. Раскрыть особенности, структуру и способы математических доказательств. Рассмотреть правила, в соответствии с которыми стояться правильные рассуждения необходимые для обучения младших школьников обосновывать суждения в курсе начальной математики.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Понятие умозаключения
2. Дедуктивные умозаключения
3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
4. Неполная индукция
5. Математическая индукция
7. Умозаключения «от противного»
8. Некоторые виды неправильных умозаключений
Основные понятия темы
Ø посылка и заключение,
Ø дедуктивные (правильные) умозаключения,
Ø неполная индукция,
Ø прямое доказательство,
Ø косвенное доказательство,
Неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.
Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.
Практическая часть
1. Выскажите предположение, рассмотрев несколько частных случаев:
а) К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?
б) Имеются два числа, ни одно из них не делится на 3. Может ли (и при каком условии), сумма этих чисел разделится на 3?
в) Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4?
2. Даны верные равенства: 74 – 47 = 27; 52 – 25 = 27; 63 – 36 = 27. Верно ли, что разность любого двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?
3. Выяснив, что (12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2, ученик решил аналогично действовать при нахождении значения выражения (12 × 4) : 2, и записал: (12 × 4) : 2 = (12 : 2) × (12 : 4). Прав ли он?
4. Даны два утверждения: А (х) – «число х четное» и В (х) – «запись числа х оканчивается цифрой 4». Находятся ли они в отношении следования?
5. Почему следующее обобщение приводит к неправильному выводу: рассмотрим квадрат со стороной 1 см и измерим его углы. Все они равны 90°. Возьмем квадрат со стороной 2 см и тоже измерим все его углы. Они также получились равными 90°.Сделаем это 35 раз, предложив ученику проверить это самостоятельно. Вывод: все четырехугольники с равными сторонами имеют все углы по 90°?
6. Что играет роль отдельных подмножеств, на основании знаний о которых мы узнаем обо всем множестве в следующем умозаключении:
1 + 2 = 2 + 1; 1 + 3 = 3 + 1; 1 + 4 = 4 + 1; 1 + 5 = 5 + 1; 2 + 3 = 3 + 2;
2 + 4 = 4 + 2; 2 + 5 = 5 + 2; 3 + 4 = 4 + 3; 3 + 5 = 5 + 3; 4 + 5 = 5 + 4
Вывод. Сложение на множестве чисел <1, 2, 3, 4, 5>коммутативно.
7. Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.
8. Разность двух углов равна 10°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.
13. Даны четыре последовательных нечетных числа. Верно ли, что произведение крайних чисел меньше произведения средних на 8?
а) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8;
б) произведение двух последовательных четных чисел кратно 8;
в) разность между квадратом натурального числа, не делящегося на 3, и единицей делится на 3?
15. Покажите, что обосновывая решение следующих задач, младшие школьники могут использовать полную индукцию:
а) Дан ряд чисел: 3545, 3550, 3555, 3560, 3565. Можно ли утверждать, что каждое число этого ряда делится на 5?
б) Можно ли утверждать, что значения всех нижеприведенных выражений одинаковы: 326326:326; 236236:236; 626626:626.
в) Можно ли утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы: 56:5; 7×8:(32:4); (65-9): (24:3)?
16. Закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным:
а) Если четырехугольник–прямоугольник, то в нем диагонали равны. Четырехугольник АВСD …
б) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и КLМ…
в) Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол. Ромб АВСD…
17. Восстановите общую посылку в умозаключении:
а) Число 12 – натуральное, следовательно, оно положительное.
б) Число 15 – нечетное, следовательно, оно не делится на 2.
18. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 1) 130 делится на 10; 2) 137 не делится на 10; 3) Четырехугольник АВСD не является прямоугольником.
19. Докажите «от противного»:
1) что если в 10 коробках 21 елочная игрушка, то хотя бы в одной коробке лежит не менее трех елочных игрушек;
2) что множество А / (А Ç В) не пересекается с множеством В\ (А Ç В);
3) что, если а+3>10, то а ¹ 7;
4) что, если х 2 – четное число, то х – четно;
5) что, если отрезок, проведенный через середину одной стороны треугольника до пересечения с другой стороной, равен половине длины третьей стороны, то этот отрезок есть средняя линия треугольника.
20. Докажите, что значение выражения (х–4)(2х+1) будет целое число, если х принимает значения –1, 0, 1, 4.
21. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
22. Докажите, что для простого р выражение р 2 +2 принимает только один раз значение простого числа.
23. Докажите методом математической индукции, что
а) 1+3+5+…+(2п–1)=п 2 ; б) 1+3+6+…+ 
;
в)1 2 +2 2 +3 2 +…+п 2 = 
; г) 1 3 +2 3 +3 3 +…+п 3 = 
.
Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 130 делится на 10?
Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 130 делится на 10.
Оба числа оканчиваются на ноль.
Ну и по факту 130 можно спокойно разделить на 10.
Закончите рассуждение, чтобы оно было дедуктивным?
Закончите рассуждение, чтобы оно было дедуктивным.
Запишите схему рассуждения
«Если углы смежные, то они в сумме составляют 180.
Задание 1?
— В классе 60% девочек, остальные 40% мальчики.
Постройте соответствующую круговую диаграмму.
На сколько делят частей делят четыре пересекающие прямые?
Постройте квадрат и проведите его диагонали?
Постройте квадрат и проведите его диагонали.
1)сравните диагонали квадрата 2)Чему равен угол между диагоналями?
3)На какие фигуры делит квадрат его диагональ?
Постройте с помощью транспортира угол 70 градусов и проведите луч, который делит этот угол пополам?
Постройте с помощью транспортира угол 70 градусов и проведите луч, который делит этот угол пополам.
Постройте с помощью угол в 70 градусов и приведите луч, который делит этот угол пополам?
Постройте с помощью угол в 70 градусов и приведите луч, который делит этот угол пополам.
Как это доказывается через индуктивный метод?
Как это доказывается через индуктивный метод?
Постройте треугольник?
Луч ВР делит развернутый угол АВС на два угла АВР и СВР а) найдите величины этих углов СВР в 0?
Луч ВР делит развернутый угол АВС на два угла АВР и СВР а) найдите величины этих углов СВР в 0.
8 раз меньше угла АВР б)постройте углы.
Отметьте точки К М?
Отметьте точки К М.
Отметьте на этом отрезке точки РТ.
Назовите отрезки на которые эти точки делят отрезок КМ.
На какие отрезки точка Т делит отрезок КМ.
Луч ВР делит развернутый угол АВС на два угла АВР и СВР а) найдите величины этих углов СВР в 0?
Луч ВР делит развернутый угол АВС на два угла АВР и СВР а) найдите величины этих углов СВР в 0.
8 раз меньше угла АВР б)постройте углы.
Схемы дедуктивных умозаключений
Введение
Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассуждения, а таким считают рассуждение, построенное по правилам логики.
Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкретных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны более глубокие знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индукции и дедукции.
Умозаключения и их виды
В логике вместо термина «рассуждения» чаще используются (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
Умозаключение состоит из посылок и заключения.
Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.
П р и м е р 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 6·3 = 3·6, 5·2 = 2·5, 3·7 = 7·3. А затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство ab = ba.
П р и м е р 3. При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значения высказывания 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, т.е. 12. Известно, что 4-3 = 12. Значит, 12:4 = 3.
Далее, используя тот же способ рассуждений, находят частные 9:3,20:5 и др.
Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.
О п р е д е л е н и е. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.
Часто используют такую запись: 
В ней черта заменяет слово «следовательно».
Дедуктивным является умозаключение, которое рассмотрено в примере 1.
Более подробно такие умозаключения мы рассмотрим позже, в пункте 26, а пока заметим, что в дедуктивном умозаключении всегда, когда истинны посылки, истинно и заключение.
О п р е д е л е н и е. Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.
Рассмотрим, например, такие выражения 3 + 5 и 3 · 5; 2 + 7 и 2 · 7; 4 + 8 и 4 · 8. Видим, что 3 + 5
Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.
Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.
Например, ученик установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.
Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров.
Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами. Например, учащиеся установили, что 4· (3 + 7) > 4·3 + 4·6, так как 4· (3 + 7) = 4·3+4·7, а 4·7 > 4·6. Рассматривая затем выражения 3(8 + 9) и 3·8 + 3·7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3 · (8 + 9) > 3 ·8 + 3·7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания либо при помощи вычислений.
Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27·3 =
= (20+7) ·3 = 20·3+7·3 = 81) детям предлагается умножить 721 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712·4= (700+ 10 + 2) ·4 = 2800 + 40+8 = 2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.
Следующим шагом может быть обобщение, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т.е. использование неполной индукции.
Схемы дедуктивных умозаключений
Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению (п. 25) в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения и проверять их правильность?
В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие:
Выясним, что обозначают все знаки, использованные в записи этих правил; как их применять на практике.
Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения:
Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.
Приведем теперь пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания:
Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.
Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же, как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5 (т.е. это 
).
Заключение- это отрицание предложения «Запись числа 177 не оканчивается цифрой 5» (т.е. 
).
И, наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма.
Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.
Конечно, возникает вопрос, почему умозаключения, выполненные по правилам заключения, отрицания и силлогизма, будут дедуктивными (правильными)? Дело в том, что, выполняя рассуждения по этим правилам, мы всегда будем получать истинное заключение, что и требуется в дедуктивном умозаключении. Убедиться в этом можно, если воспользоваться кругами Эйлера.
В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Мы рассмотрим тот, который предполагает использование кругов Эйлера. Сначала данное умозаключение записывают на теоретико-множественном языке, затем посылки изображают на кругах Эйлера, считая их истинными. После этого выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если оказывается, что всегда, то говорят, что данное умозаключение правильное, дедуктивное. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то говорят, что всякое умозаключение, выполненное по такой схеме, является недуктивным, неправильным.
Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.
Частная посылка А(а) означает, что а 
Та, а заключение В(а) показывает, что а Тв.
Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так: 
Изобразив на кругах Эйлера множества Та и Тв, и обозначив элемент а Та, мы увидим, что а Тв (рис. 37),т.е.а Та =>а Тв.
Аналогичным образом можно проверить и другие правила дедуктивных умозаключений. Кроме того, такой способ проверки правильности умозаключений можно использовать и в тех случаях, когда умозаключение
выполнено по схеме, отличной от рассмотренных.
З а д а ч а. Правильно ли следующее умозаключение: «если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5».
Р е ш е н и е. Это умозаключение выполнено по схеме 
которую в общем виде можно представить так: 
Но такой схемы среди названных выше нет. Является ли она правилом дедуктивного умозаключения?
Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке полученное правило можно записать так: 
Изобразим на кругах Эйлера множества Та и Тв и обозначим элемент а, принадлежащий множеству Тв. Но оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 38).
В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как она не гарантирует истинности заключения. И вообще при анализе умозаключения нельзя отождествлять правильность умозаключения с истинностью полученного заключения: заключение
может быть истинным, а само умозаключение не быть дедуктивным, правильным.
Возвращаясь к вопросу нашей задачи, скажем, что данное в ней умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности заключения.
Полезно также запомнить и не путать с правилом заключения такую схему:
а с правилом отрицания схему: 
Эти схемы не гарантируют истинности заключения и, следовательно, не являются правилами дедуктивных умозаключений.
Заметим, что полное дедуктивное умозаключение по приведенным трем правилам требует указания двух посылок. Однако в процессе рассуждений эти правила иногда сокращают, опуская одну из посылок. Например, объясняя, почему 6
Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 130 делится ** 10
В 9:19 поступил вопрос в раздел Математика, который вызвал затруднения у обучающегося.
Вопрос вызвавший трудности
Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 130 делится на 10
Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru
Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «Математика». Ваш вопрос звучал следующим образом:
Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что 130 делится на 10
После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:
Оба числа оканчиваются на ноль. Ну и по факту 130 можно спокойно разделить на 10
НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:
Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.
ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!
Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.
Деятельность компании в цифрах:
Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.
Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.