Постоянная больцмана что показывает

Постоянная Больцмана

Краткое описание

Постоянная Больцмана — физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией.

Взаимосвязь между макроскопическими свойствами материи (давление, температура) и характером движения атомов и молекул описывается молекулярно-кинетической теорией. Одним из ее создателей являлся Людвиг Больцман.

В рамках этой теории температура газа объясняется кинетической энергией его молекул (скоростью движения), а давление — их упругими ударами о стенки сосуда. Это соотношение устанавливает формула:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

где m — масса молекул газа, v — их средняя скорость, k — постоянная Больцмана, а T — температура газа по шкале Кельвина.

Физический смысл постоянной Больцмана заключается в обеспечении взаимосвязи характеристик атомно-молекулярного уровня и объемными свойствами газа, которые можно измерить при помощи приборов.

Постоянная Больцмана обозначается буквой k, а ее величина равна

Как соотносится энергия и температура

В идеальном одноатомном газе каждый атом имеет три степени свободы, которые соответствуют трем пространственным осям. Поэтому энергию, приходящуюся на каждый атом можно выразить как

Если известна величина тепловой энергии, то нетрудно рассчитать среднеквадратичную скорость атомов. Она будет обратно пропорциональна корню квадратному из атомной массы. Например, при температуре 300 К среднеквадратичная скорость молекул ксенона составит 240 м/с, а гелия — 1370 м/с.

Вычисления для молекулярного газа усложняются. Это связано с увеличением степеней свобод. Так, например, при низкой температуре двухатомный газ имеет уже две вращательных и три поступательных степеней свободы. Рассмотрим решение конкретной задачи.

Задача

Газ состоит из N-атомных объемных молекул и находится при определенной температуре Т, при которой у молекул возбуждены колебательные, вращательные и поступательные степени свободы. Найти среднюю энергию молекул этого газа.

На каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая величина кинетической энергии (закон равномерного распределения энергии по степеням свободы), которая равна

Тогда можно утверждать, что средняя энергия молекулы составит

Сделаем небольшое пояснение: i — сумма поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, то есть

Теперь необходимо определить сколько степеней свободы имеют молекулы рассматриваемого газа:

Сокращаем полученное выражение и получаем:

Ключевые нюансы

Постоянная Больцмана представляет собой отношение газовой постоянной (R) к постоянной Авогадро (Na):

По состоянию на 2017 год в международной системе единиц (СИ) ее значение составляет

а размерность — Дж/К.

Постоянную Больцмана не следует путать с постоянной Стефана-Больцмана, которая является константой пропорциональности в законе Стефана-Больцмана.

Способы нахождения постоянной Больцмана

Для нахождения постоянной Больцмана можно использовать различные методы.

Универсальный метод

Искомый коэффициент входит в уравнение состояния идеального газа:

Многочисленные опыты показывают, что при нагревании любого газа от T₀=273 К до Т₁=373 K его давление на стенки сосуда увеличивается с \(P_0=1.013\times10^5\) Па до \(P_1=1.38\times10^5 Па.\)

Провести такой опыт совсем несложно. В качестве газа используется обычный воздух, давление измеряется при помощи манометра, а температура — термометра. При этом известно, что один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем V=22,4 л и содержит \(6.02\times10^<23>\) молекул.

Подставим известные параметры в уравнение состояния идеального газа:

Отсюда, коэффициент k

Подставив в получившиеся уравнение известные данные и решив его получаем значение постоянной Больцмана равное \(1.38\times10^<-23>.\)

Через формулу броуновского движения

Небольшое зеркальце подвешивают на упругой нити. Система зеркало-воздух находится в статическом равновесии. О поверхность зеркала ударяются хаотично движущиеся молекулы воздуха. Поэтому оно ведет себя как одна из броуновских частиц. Помимо этого, зеркало будет совершать и крутильные колебания вокруг оси, которой является упругая нить-подвес.

Зеркальную поверхность освещают лучом света. При ее, даже небольших поворотах, отраженный луч будет смещаться. Это позволяет не только увидеть, но и измерить крутильные колебания.

Умножив обе части уравнения на \(\varphi\) и преобразовав его получаем:

Так как малые крутильные колебания являются гармоничными, то можно записать:

Исходя из него получаем:

Подставив в полученную формулу полученные опытным путем данные, например

Получаем приблизительное значение постоянной Больцмана равное

Области применения

Постоянная Больцмана является важным членом многих уравнений:

Кроме того, постоянная Больцмана играет роль в распределении энергии, используется в определении энтропии. Немаловажное значение имеет эта константа и в физике полупроводников. Она входит в состав формулы, описывающей зависимость между электропроводимостью и температурой.

Источник

Постоянная Больцмана

Людвиг Больцман — один из создателей молекулярно-кинетической теории газов, на которой зиждется современная картина взаимосвязи между движением атомов и молекул с одной стороны и макроскопическими свойствами материи, такими как температура и давление, с другой. В рамках такой картины давление газа обусловлено упругими ударами молекул газа о стенки сосуда, а температура — скоростью движения молекул (а точнее, их кинетической энергией).Чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура.

Постоянная Больцмана дает возможность напрямую связать характеристики микромира с характеристиками макромира — в частности, с показаниями термометра. Вот ключевая формула, устанавливающая это соотношение:

Раздел физики, изучающий связи между явлениями микромира и макромира, называется статистическая механика. В этом разделе едва ли найдется уравнение или формула, в которых не фигурировала бы постоянная Больцмана. Одно из таких соотношений было выведено самим австрийцем, и называется оно просто уравнение Больцмана:

где S — энтропия системы (см. Второе начало термодинамики), p — так называемый статистический вес (очень важный элемент статистического подхода), а b — еще одна константа.

Австрийский физик. Родился в Вене в семье госслужащего. Учился в Венском университете на одном курсе с Йозефом Стефаном (см. Закон Стефана—Больцмана). Защитившись в 1866 году, продолжил научную карьеру, занимая в разное время профессорские должности на кафедрах физики и математики университетов Граца, Вены, Мюнхена и Лейпцига. Будучи одним из главных сторонников реальности существования атомов, сделал ряд выдающихся теоретических открытий, проливающих свет на то, каким образом явления на атомном уровне сказываются на физических свойствах и поведении материи.

Источник

Постоянная Больцмана

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра k :

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица. Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться. Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:

Сначала вычислим общую массу смеси.

Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:

Подставим полученное равнее значение:

Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

Источник