Полярный момент инерции
Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ 2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:
Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:
Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то
потому что 
.
Содержание
Применение
Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:
— крутящий момент, 
— расстояние от оси кручения 
— полярный момент инерции.
Полярный момент инерции для некоторых случаев
Для круглого сплошного сечения:
где D — диаметр круга.
Для кольцевого сечения (полый вал):
D — внешний диаметр кольца, d — внутренний диаметр кольца.
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Полярный момент инерции» в других словарях:
полярный момент инерции — polinis inercijos momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. polar moment of inertia vok. polares Trägheitsmoment, n rus. полярный момент инерции, m pranc. moment d’inertie polaire, m … Fizikos terminų žodynas
полярный момент инерции круглого сечения — Взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до начала координат (центра тяжести сечения). [http://www.isopromat.ru/sopromat/terms] Тематики строительная механика, сопротивление… … Справочник технического переводчика
Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Сопротивление материалов* — Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Сопротивление материалов — Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ЖЁСТКОСТЬ — мера податливости тела деформации при заданном типе нагрузки: чем больше Ж., тем меньше деформация. В сопротивлении материалов и теории упругости Ж. характеризуется коэффициентом (или суммарным внутр. усилием) и характерной деформацией упругого… … Физическая энциклопедия
Список обозначений в физике — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия
КРУЧЕНИЕ — деформация, возникающая в стержне при приложении к его концу (торцу) системы сил, к рая приводится к паре сил с вектором момента вдоль оси стержня, т. е. к крутящему моменту. Для стержня круглого сечения радиуса а используется гипотеза плоских… … Физическая энциклопедия
Кручение (в сопротивлении материалов) — Кручение (в сопротивлении материалов), вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов (пар сил), действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней (валов) при К.… … Большая советская энциклопедия
Кручение — I Кручение (в сопротивлении материалов) вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов (пар сил), действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней… … Большая советская энциклопедия
Научная электронная библиотека
Лекция 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ
Математические определения геометрических характеристик плоских фигур: статические моменты, осевые моменты инерции и центробежный, полярный момент инерции. Центральные оси. Главные оси. Определение положения центра тяжести элементарных сечений и составленного из элементарных фигур. Нахождение геометрических характеристик сечений относительно центральных осей.
Различают следующие характеристики сечений: площадь А, статические моменты площади, моменты инерции площади, центробежный момент инерции площади.
Рис. 10. Площадь А в системе координат х, у
Под статическим моментом площади относительно некоторой оси понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:
Определение центра тяжести сечения. Статические моменты сечения относительно осей проходящих через центр тяжести равны нулю, поэтому их используют для определения координат центров тяжести сечения. Для этого проводят вспомогательные оси x и y и координаты центра тяжести сечения определяют по зависимостям:
(3)
Моменты инерции сечения. Осевым моментом инерции сечения I называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до оси. Осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y будут соответственно равны
(4)
Полярным моментом инерции сечения Iρ называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.
(5)
Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции сечения.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями, осевые моменты инерции относительно их принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).
Полярный момент инерции
Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний (ρ 2 = y 2 + z 2 ) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.
Моменты сопротивления. Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки
Полярный момент сопротивления
Осевой и полярный моменты сопротивления имеют размерность м3.
Радиус инерции
Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:
Вычисление геометрических характеристик простых фигур.
Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.
Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота) (рис. 11). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)равна dA = b•dy. Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:
По аналогии запишем
Вначале целесообразно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга Jx = Jy, а Jρ = Jx + Jy, найдем Jx = Jy = Jρ/2.
Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ (рис. 12); площадь такого кольца 
. Подставляя выражение для площади кольца в выражение для Jρ и интегрируя, получим:
Полярный момент инерции
СОДЕРЖАНИЕ
Определение [ править ]
Учитывая плоские вторые моменты уравнений площади, где:
J знак равно 2 я Икс <\ displaystyle J = 2I_ 
или же J знак равно 2 я y <\ displaystyle J = 2I_
Единица [ править ]
Ограничения [ править ]
Заявление [ править ]
Как показано, чем больше модуль сдвига материала и полярный момент площади (т.е. больше площадь поперечного сечения), тем больше сопротивление крутильному прогибу.
Полярный момент площади фигурирует в формулах, описывающих скручивающее напряжение и угловое смещение.
Примечание: у круглого вала напряжение сдвига максимально на поверхности вала.
Пример расчета [ править ]
Расчет радиуса вала паровой турбины турбоагрегата:
Угловая частота может быть вычислена с помощью следующей формулы:
Крутящий момент, передаваемый валом, связан с мощностью следующим уравнением:
Максимальный крутящий момент составляет:
T max = τ max J z r <\displaystyle T_<\max >=<\frac <\tau _<\max >J_
После подстановки полярного момента инерции получается следующее выражение:
r = 2 T max π τ max 3 <\displaystyle r=<\sqrt[<3>]<\frac <2T_<\max >><\pi \tau _<\max >>>>>
Радиус составляет г = 0,200 м = 200 мм, или диаметр 400 мм. Если добавить коэффициент запаса прочности 5 и повторно вычислить радиус с допустимым напряжением, равным τ adm = τ yield / 5, результатом будет радиус 0,343 м или диаметр 690 мм, приблизительный размер вал турбоагрегата в атомной электростанции.
Сравнение полярного и массового моментов инерции [ править ]
Полярный момент инерции:
I z = π ( D 4 − d 4 ) 32 <\displaystyle I_
Момент инерции массы:
I c = I z ρ l = π ρ l ( D 4 − d 4 ) 32 <\displaystyle I_
Цельный цилиндр Полярный момент инерции
Момент инерции массы
I c = I z ρ l = π ρ l D 4 32 <\displaystyle I_
В чем измеряется момент инерции сопромат?
Что такое осевой момент инерции сопромат?
Осевой момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей.
В чем измеряется момент сопромат?
Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр (джоуль) в системе СИ.
В чем измеряется момент инерции?
Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м². Обозначение: I или J. Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.
Что такое полярный момент инерции Какой физический смысл имеет эта величина в каких единицах измеряется?
Что такое осевой момент сопротивления?
Осевым М. с. называется отношение момента инерции относительно данной центральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удалённой точки поперечного сечения: Wx=IxYмакс,Wy=IyXмакс.
Что такое момент инерции в чем состоит его физический смысл?
Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Какое сечение является опасным?
Опасным называют сечение, в котором напряжения вызываемые действием внешних усилий максимальны. Для определения опасного сечения балки необходимо построить эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.
В чем измеряется крутящий момент?
Крутящий момент определяется величиной силы, умноженной на расстояние от центра вращения (Сила х Расстояние = Крутящий момент). Крутящий момент измеряется в единицах силы, умноженной на расстояние, например, фунто-дюймах или ньютон-метрах.
Что такое момент сопротивления сечения какова его размерность?
Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения. Размерность моментов сопротивления – единица длины в кубе (например, см3, м3, мм3).
Какие бывают моменты инерции?
Различают осевые, полярный и центробежный моменты инерции. Осевым моментом инерции плоского сечения относительно какой- либо оси, лежащей в его плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси (рис. 4.5).
Что такое момент инерции тела и от чего зависит?
Моментом инерции системы
Момент инерции тела – мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от материала, размеров и формы тела, а также от расположения тела относительно оси.
Как определяется осевой момент инерции твердого тела?
Как формулируется теорема Гюйгенса Штейнера?
В чем измеряется полярный момент сопротивления?
(или момент сопротивления при кручении), является геометрической характеристикой поперечного сечения вала, определяющей способность вала сопротивляться кручению. Полярный момент сопротивления измеряется в единицах длины в кубе (в см3).
Что называют полярным моментом инерции?
Полярным моментом инерции сечения Iρ называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.
Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.