Положительные числа a b c d таковы что
Положительные числа a b c d таковы что
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.
б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?
в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем: 
или 
В первом случае из равенства 
находим 
и 
откуда получаем: 
и 
Второй случай не реализуется, поскольку 
а 
б) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем, что 
то есть 
Аналогично, 
последнее равенство выполняется только при и Значит, 
что невозможно.
в) Из равенства 
получаем: 
Значит, 
Получаем четвёрку чисел 
Поскольку 
получаем: 
Кроме того, 
откуда 
Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.
Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.