Покажите что отображение сюръективно тогда и только тогда
Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения
Содержание:
Сюръекция, инъекция и биекция
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У. Если же область значений / совпадает с У, т.е. f
По сути, функция / в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, и потому ее часто называют взаимно однозначной функцией. Очевидно, что функция / биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из X с каждым элементом из У.
При этом никакие два элемента из X не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо / инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из X из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения.
Каждый элемент из X участвует в попарном соединении, поскольку X — область определения функции /. Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной из пар, ибо / сюръективна. Роли X и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение или иную функцию д), которое тоже и инъективно, в сюръективно. Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем.
| В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). |
Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X —? У — некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9 : Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /»*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f’1.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2.
Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй — из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&’, у’) определяют условиями х = х’ и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций.
Произведение множеств
Если же X С R, а У = R2, то график функции также есть множество точек в R3, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х = const лишь в одной точке М с тремя координатами х> yi, у2 (рис. 2.11). # Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)
Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в множество %%Y%%.
Инъективное отображение
Отображение %%f%% называется инъективным,
Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.
Пример
Сюръективное отображение
Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.
Пример
Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.
Биективное отображение
Отображение %%f%% называется биективным, если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием.
Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.
Обратное отображение
Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^<-1>(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением.
Пример
Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?
Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией. Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным.
Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac
Элементы абстрактной алгебры. Часть II. Виды отображений.
И снова привет. Сегодня мы поговорим о видах отображений. Надеюсь, пост https://pikabu.ru/story/yelementyi_abstraktnoy_algebryi_chas. был усвоен.
P. S. Не стоит ограничивать отображения числовыми функциями: им от этого обидно. Например, соответствие между множеством всех когда-либо живших людей и множеством родителей (тут упорядоченные пары) будет отображением.
Общий взгляд на отображение
Определение. Отображение f множества A на множество B называется сюръективным, если для каждого элемента из B найдётся хотя бы один прообраз в A.
Чёйта такое? Это легко пояснить на схемах со стрелочками. Итак, нарисуем множества A и B
Зададим отображение множества A на B. Оно будет ставить каждой точечке из A какие-то точечки из B. Как всё это может выглядеть? Ну, например, так
Все точки из A превратились в конкретную точку из B. Кстати, такое отображение называется постоянным.
А может быть и так
Давайте исправим ситуацию и наделим все точки прообразами в A.
Шедевр. Теперь каждый элемент в B имеет прообраз в A! И, конечно, это свойство нашего отображения (именно оно диктует, кто и какой будет иметь прообраз). А теперь посмотрите определение сюръекции и заметьте, что наше некое отображение суть пример сюръекции!
Нижняя точка выделяется тем, что имеет два прообраза в A (в неё входят две стрелочки). Это тоже особенность отображения. С тем же успехом мы можем взять одну стрелочку из нижней точки и перетащить её в верхнюю. Тогда, разумеется, получится новая сюръекция.
Давайте добавим ещё примеров.
Числовая функция f(x) = x, отображающая R на R, суть сюръекция.
Отображение g множества трёхзначных чисел на множество цифр от 0 до 9, ставящее в соответствие трёхзначному числу его 2-е число (в середине которое), суть сюръекция. Действительно, для каждого числа от 0 до 9 найдётся некоторое трёхзначное число. Например, для 1 можно найти 119, 118, 610 и так далее.
Но найти сюръективное отображение одного множества на другое не всегда возможно. Давайте отныне договоримся (это не касается примеров), что мы будем рассматривать конечные множества.
Итак, между двумя множествами A и B можно установить сюръективное отображение тогда и только тогда, когда n(A) >= n(B).
И вправду. Если n(A) n(B), мы не сможем напихать стрелочки так, чтобы элементы в B имели только один прообраз в A (не обязательно все элементы = это не обязательно сюръекция). У нас просто в A будет избыток стрелочек!
Давайте посмотрим на случай n(A) = n(B).
Среди всех возможных отображений выделяется один класс отображений, который выглядит так
Красиво! Элементы в B имеют ровно один прообраз в A. Никаких избытков стрелочек, все равноправны, всё по Марксу-Энгельсу.
Короче говоря, разные элементы A переходят в разные элементы B (имеют разные образы при отображении).
Определение. Отображение, при котором разные элементы отображаемого множества имеют разные образы, называется инъекцией.
Наука | Научпоп
6.1K постов 69K подписчика
Правила сообщества
ВНИМАНИЕ! В связи с новой волной пандемии и шумом вокруг вакцинации агрессивные антивакцинаторы банятся без предупреждения, а их особенно мракобесные комментарии — скрываются.
Основные условия публикации
— Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.
— Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.
— Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.
— Видеоматериалы должны иметь описание.
— Названия должны отражать суть исследования.
— Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.
Не принимаются к публикации
— Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.
— Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.
— Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.
— Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.
— Попытки использовать сообщество для рекламы.
— Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.
— Нарушение правил сайта в целом.
Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.
>делятся на сюръекцию, инъекцию, биекцию и всё остальное
Не совсем хорошо сказано.
Биекция является сюръекцией и инъекцией, слово «делятся» обычно подразумевает разделение на неперсекающиеся классы.
Помню эту херь в универе, так и не разобрался НАХРЕНА ЭТО ВООБЩЕ НУЖНО? Почему когда объясняют подобную поеботу, не дают сразу какой нибудь жизненный пример, где это используется, чтоб можно было сразу понять, но нет, вот тебе куча какой то сумбурной херни, зубри это
Теперь серьезно, я так и не понял, почему для сюръективного отображения мощность множества прообразов должна быть выше мощности множества образов. В определении сюръекции вроде нигде не говорится, что каждый элемент из А может иметь лишь один образ.
Сюръективное не инъективное отображение: f: R²→R, f(x,y)=x ∀(x,y).
Не сюръективное инъективное отображение: f: R→R², f(x)=(x,0) ∀x.
Сюръективное инъективное отображение: f: R²→R², f(x,y)=(x+y,x-y) ∀(x,y).
Ох я помню изучал такую фигню на физмате, а потом отчислился и поступил в медунивер.
Какой приз за правильные ответы?
Элементы абстрактной алгебры. Часть I. Введение. Отображения (общие понятия).
Здравствуй, дорогой читатель!
В первую очередь этот цикл рассказов обращён ко всем тем, кто не варится в котле математики, но интересуется последним. Это школьники, прозревшие студенты гуманитарных специальностей и просто все любители абстрактных вещей.
• Какие-никакие азы школьной математики, которые знает каждый хорошист.
Во-вторых, я буду давать по ходу изложения упражнения. Советую их все выполнять. Если возникнут проблемы, то пишите в комментарии.
Вот. Первой на очереди будет теория групп. Поехали, кубик Рубика ждёт!
Отображения (общие понятия)
Всегда нужно с чего-то начинать, с какого-то общего языка для конкретно данной области. Например, мат. анализ начинают с действительных чисел и функций действительного переменного, топологию с теории множеств. Нам же нужны множества и отображения. Первое мы опустим, потому что мы лишь знакомимся. Оно будет поясняться по ходу дела, косвенно. А вот отображения мы с вами просто обязаны рассмотреть в силу причин, которые будут известны чуть позже. Итак.
Помните те функции, которые проходят на уроке алгебры? Давайте посмотрим на них внимательнее.
У нас есть мешок всех действительных чисел (область определения функции), некая машина, которая имеет вход и выход, и мешок, в который помещаются преобразованные в машине элементы. Мы достаём из мешка некоторое число x, несём его на машину, которая исполняет заданный функцией алгоритм («возведи в квадрат»), а после выдаёт уже преобразованный элемент y и скидывает его в мешок. Вот так и работает функция.
Если мы каким-то боком перетащим всё содержимое из мешка R в машину, то получим мешок действительных положительных цифр и нуля.
Давайте перетащим первую цифру. Что берём? Давайте, пожалуй, 2.
Итак, берём двойку и несём её на вход машины. Она, эта f(), принимает в себя 2, получая f(2). Далее она выполняет алгоритм и выдаёт нам 4, складывая его в мешок. Видите, как всё просто?
Упражнение 1. Попрактикуйтесь с цифрами 5, 70, 1000.
Однако мы можем задать с такую вещь:
Определение. Две функции f(x) и g(x) равны тогда и только тогда, когда совпадают их области определения и каждый элемент из области определения они преобразуют одинаково.
Пусть наши функции заданы на одной и той же области определения, пусть они преобразуют все элементы из неё одинаково, кроме одного. Но если этот один «таракан» существует, то он рушит всё равенство! Аналогично с областями определения.
Упражнение 2. Какие из следующих функций равны:
Обратите внимание на выделенное слово. Мы должны задавать первый мешок так, чтобы каждый элемент можно было бы запихать в машину. Это не всегда возможно.
Пусть машина имеет правило 1/x. Если наш мешок суть R, то там валяется 0. Можем ли мы затолкать в машину ноль? Нет, она будет упорно его выплёвывать, может, даже сломается, ведь ей, бедной, придётся выдавать на выходе 1/0. Ох, жалко машину. Пожалейте машину и выбросьте из мешка те элементы, которые не заталкиваются в машину.
Познакомимся с несколько новой символикой.
Вот у нас функция f(x). Вытащим оттуда букву f. Она символизирует правило, диктующее соответствие. Тогда вот так
и обозначается отображение множества A во множество B по правилу f.
Если брать нашего робота, то эта запись показывает преобразования мешков. Мы вместо отдельных элементов первого мешка заталкиваем в машину весь мешок. На выходе получаем новый мешок, содержащий элементы, преобразованные по правилу f. В первом примере у нас мешок R преобразуется в (R+) + 0.
Если брать x = 2, то получится:
Терминология вполне естественна, не правда ли?
Упражнение 3. Исследуйте какие-нибудь известные вам функции в новых терминах и символах.
На сегодня всё. Продолжим чуть позже. На следующем «уроке» мы посмотрим на разные виды отображений и найдём связь с комбинаторикой. Всего доброго.
Отображение множеств для начинающих. Введение в теорию множеств
Перед Вами один из самых интересных уроков из теории множеств, и в то же время очень важный. Разобравшись с отображениями, мы вплотную подберемся к гомеоморфным преобразованиям. Итак начнем!
Что такое отображение?
На самом деле каждый школьник, начиная с 6-7 класса, когда вводится понятие «функция», постоянно сталкивается с отображениями.
На вход подаются элементы множества А (которые обозначим x), по пути в петле они определенным образом преобразуются: т.е. каждый элемент возводится в квадрат и складывается с единицей. На выходе получаем множество B уже с новыми элементами y. Обратите внимание, что каждому элементу множества А соответствует один элемент множества B.
В данном случае мы записали такое отображение множества А в множество B, что любому x, принадлежащего А поставлен в соответствие один элемент y, принадлежащий B, который вычисляется по указанному правилу.
Чтобы получить обратное преобразование, мы просто поменяли местами x и y.
Главное отличие вышеуказанных отображений следующее: если в первом случае образом может быть любое число, то во втором случае образом может быть только любое положительное число больше 1.
Данный факт заставляет задуматься, а какие виды отображений существуют и всегда ли есть отображения обратные данному?
Не буду лишний раз загружать Вас формулами, а поясню всё на трех рисунках.
1. Отображение называется сюръективным или сюръекцией, если каждому элементу первого множества соответствует хотя бы один элемент второго множества, т.е. каждый элемент второго множества имеет хотя бы один прообраз в первом множестве. Обратите внимание, употребляют предлог «на».
2. Отображение называется инъективным или инъекцией, если каждому элементу первого множества соответствует только один элемент второго множества, т.е. каждый элемент первого множества является прообразом только одного элемента второго множества. Обратите внимание, употребляют предлог «в».
Теперь разрешим проблему, которая появилась после попыток вернуть множество B в множество A, записав обратную функцию. Во-первых, дело в том, что обратная функция существует только для биекций. Во-вторых, всё очень сильно зависит от исходных множеств. Например:
Афтар! Давай уже для ЛЛ ты не будешь давать ссылки на свои каналы, а будешь кормить нас математикой здесь из ложечки, чтобы нам не пришлось вставать с диванов?
Пфф, ну элементарно же всё понятно! (нет)
Проблема простых-близнецов – Алексей Савватеев | Научпоп
В чём заключается одна из самых древних проблем «школьной» математики? Почему она называется «простые-близнецы» и как формулируется? Что утверждает теорема о распределении простых чисел в натуральном ряду? Как продвинулась в этой области современная математика и на какие вопросы ещё предстоит найти ответы математикам будущего?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Молдавские учёные решили проблему, над которой 140 лет бились математики всего мира
Два математика из Молдовы первыми в мире решили алгебраическую проблему, над которой 140 лет размышляли великие ученые мира. Об этом на этой неделе сообщил Технический университет Молдовы (UTM).
«Доктор физико-математических наук Михаил Попа и доктор математических наук Виктор Прикоп первыми в мире нашли решение знаменитой проблемы центра и фокуса, поставленной выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, над которой великие математики мира размышляли более века», — говорится на сайте университета.
Этой проблеме посвятили тысячи работ математики из Франции, России, Беларуссии, Китая, Великобритании, Канады, США и других стран мира. Только в Молдове число работ, посвященных проблеме Пуанкаре, приближается к сотне, отметили в UTM.
Профессор университета Михаил Попа, основатель научной школы алгебры Ли и дифференциальных систем, предложил собственное решение проблемы центра и фокуса, которое привело его к результату, ставшему открытием.
Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».
Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.
Где-то всплакнул Гриша Перельман.
Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.
Что такое наука и какие задачи она должна решать? Существует ли музыкальная наука и какими могут быть результаты применения научного метода в этой сфере? Что такое микрохроматика и как она может изменить музыку будущего, расширить возможности её создания и восприятия?
Шикарный канал. Жаль тогда ещё подписок не придумали.
Отец поступившей в МГУ девятилетней девочки заявил об угрозах от преподавателей
Преподаватели поступившей на факультет психологии Московского государственного университета (МГУ) имени М. В. Ломоносова девятилетней Алисы Тепляковой отказались искать индивидуальный подход к девочке и якобы угрожали ей отчислением за непосещаемость. Об этом в беседе с «Лентой.ру» рассказал ее отец Евгений.
«Нам необходимо взаимодействие в индивидуальном ключе с педагогами. К сожалению, очень многие преподаватели на текущий момент высказали такую позицию, что никакого вам не будет индивидуального подхода, ничего не будет. Вот есть лекции, а дальше нету времени, денег и вообще нафиг вы нам тут нужны»
По его словам, «существенное количество сотрудников» озвучили такую позицию, однако он не стал называть конкретные фамилии педагогов. При этом Тепляков подчеркнул, что официальная позиция факультета заключается в том, что ситуация с его дочерью решаема и никто ее отчислять не будет.
«Она звучит так: мы ничего вам не будем давать, вы не можете уйти вперед, мы вам не позволим, мы вам не дадим контактов ничьих, мы не будем отвечать на ваши вопросы. Вы будете сидеть вот тут, и мы будем вас оценивать. У вас будет контроль посещаемости, у вас будут проблемы, мы вас отчислим за непосещаемость»
(с) Евгений Тепляков
(о неофициальной позиции МГУ по поводу его 9-летней дочери)
.По словам Теплякова, их семья многократно говорила, что «формальные моменты из образовательной программы Алисы нужно убирать», поскольку ей девять лет и простроить занятия со 100-процентной пос
Чувак не понимает в чем принцип высшего образования. Это не зубрежка знаний, а рефлексия, то есть взаимосвязь эмпирического научного метода с умозаключительным, связывание эксперимента с опытом. А какой у ребенка опыт?
Бедный ребёнок. у девочки явно патологическая активность мозга, которая неизвестно чем и когда кончится. Дай Бог, чтобы она не свихнулась и не умерла от этого. Думаю, что пубертат может многое расставить на свои места и она станет нормальным человеком. Просто непонятно- зачем сейчас лишать ребёнка детства и гнать эту учёбу? Для чего? Что она будет делать потом, если закончит МГУ досрочно? И зачем всё это?
Решил, что буду бесплатно проверять у учеников ежедневные задания
Я преподаватель по математике и с 1 октября 2021 я открываю подготовку к профильной математике ЕГЭ 2022 для всех желающих бесплатно. Подготовка будет идти до самого экзамена. Подробнее можете прочитать о том, как все будет происходить, в моем предыдущем посте на Пикабу.
Решил, что занятия будут полезнее, если к ежедневным заданиям добавить еще и проверку мной работ учеников.
Я буду выборочно проверять работы учеников и писать комментарии ученикам лично, отдавая приоритет тем работам, которые присланы раньше других. А самые полезные для всех моменты из работ буду комментировать для всех. Но предостерегаю, что все это бесполезно без вашей собственной работы и выработки правильных привычек, которые кратно ускоряют обучение. Поэтому и пишу этот пост-дополнение.
Подготовка будет проходить здесь. Изучайте.
О правильных образовательных привычках для учеников я пишу здесь.
Бесплатно помогаю готовиться к профильному ЕГЭ по математике
Недавно я написал о том, как финансовые проблемы у некоторых моих учеников летом помогли мне придумать, как помочь тем, кто хочет сдать ЕГЭ профиль по математике, но не может или не хочет за это платить деньги.
Подготовка будет происходить здесь. Каждый день я буду публиковать задания на день с пошаговыми разборами и отвечать на вопросы по ним. Обязательно подпишитесь на канал, так как пропускать задания не очень хорошо и лучше держать темп ровным, уведомления помогут в этом. Там есть описание, как все будет происходить, а также есть ссылка на пример задания, примерно из середины курса. Он только для примера. На нем можно пощелкать и понять, как смотреть подсказки.
Делать ежедневные задания, их решения и отвечать на вопросы мы будем с вместе с еще одним преподавателем-математиком Дмитрием. Одному было бы тяжело.
Подписанных уже 100 человек, значит точно начинаем. Присоединяйтесь. Начало 1 октября 2021.
Для тех, кто хочет почитать мои мысли, о том, как нужно организовывать обучение, можете посмотреть мою телегу.
Реставрирую шкаф
Работа не быстрая, поэтому фото до. Нашел в нем тайник, в тайнике фото.
Интересует, что за формула на доске?
Пока ответа не нашлось.
Шкаф в СПБ. Ещё была найдена карта Казани печать старая начало 20 века.
Как сделать репетитора бесплатным
Я преподаватель математики. Уже давно готовлю ребят к профильному ЕГЭ по математике. У меня уже сложилась своя методика подготовки, которая из года в год показывает неплохие результаты.
Время от времени у кого-нибудь из учеников случаются финансовые сложности, то ковид, то еще что-то. Таким ученикам, я всегда предлагаю позаниматься бесплатно. Вот и в начале этого лета родители Никиты сообщили мне о трудностях и сказали, что далее обучаться он не сможет. Я предложил продолжить занятия бесплатно до конца лета, а в начале осени либо продолжить платно либо завершить обучение. За лето Никита сильно продвинулся. Осенью Никита выбрал продолжение занятий.
Из, того что я увидел за лето, я сделал интересный вывод. При достаточном уровне прилежности ученика вполне можно построить такую методику, которая будет давать ученику то же самое, что и очные занятия. К сожалению, думаю, что, если ученику особо математика не сдалась, то эффекта от такой подготовки не будет.
Как я работал с Никитой
Каждый день я высылал задание на день, рассчитанное примерно на 0.5-1.5 часа самостоятельной работы.
Разрешение возникающих вопросов
Если все же не получалось решить, то Никита писал мне в WhatsApp, и я присылал ему 1-2 шага решения. Если опять не получалось, то я присылал ему все решение. Обычно это снимало все вопросы.
Если все же остались какие-то вопросы, то он мог задать мне два вопроса в день, и я развернуто ему на них отвечал. Этого было достаточно.
Как решен вопрос с теорией
По каждой теме мной составлена последовательность задач от элементарных (которые может решить каждый) до задач уровня ЕГЭ. Эту последовательность я отлаживал последние пять лет. Удалось сделать так, что основные теоретические моменты включены в решения задач. Поэтому, прорешав последовательность и получив ответы на возникающие вопросы, ученики отлично усваивают теорию.
Приращение сложности от одной задачи к другой минимальное. Поэтому большинство учеников, решив предыдущую задачу, решат и следующую. Так, на дистанции в 10-20 задач незаметно произойдет уже заметное приращение сложности, которое без такой цепочки задач преодолеть было бы практически невозможно.
Раз в неделю Никита решал пробник и записывал свои результаты в табличку, где всем был виден прогресс.
Не так давно стал вести телеграм-канал о том, как организовать обучение, как сделать обучение эффективным, а также ответы на частые вопросы родителей и учеников: https://t.me/dobraya_problema
В результате чего происходит обучение ученика
Я учитель математики. И по роду деятельности постоянно разговариваю с учениками и их родителями на предмет того, что полезно для обучения, а что нет. И часто вынужден говорить «это хорошо, а это плохо». Мне такая ситуация очень не нравится, потому что обосновывать приходится каким-то птичьими обоснованиями типа «так всегда было», «школа такая-то или такая-то» или «британские ученые доказали».
Поэтому решил сформулировать свое представление о базисе, на основании которого можно будет потом делать хоть сколько-нибудь обоснованные выводы. Не судите сторого. Это моя попытка по-простому с помощью аналогий рассказать, как я это представляю ))
Нейроны могут либо возбуждаться в какой-то ситуации, либо не возбуждаться. Возбуждаются они только если поступил определенный сигнал из органов чувств.
Например, если увидеть треугольник, то возбудится нейрон, который отвечает за фигуру треугольник. Он узнает только ее. Причем этот треугольник может быть нарисован на листе бумаги, а может быть, это форма крыши увиденного дома. В обоих случаях нейрон треугольника будет зажжен. В случае, если треугольник был на бумаге, то зажжется еще нейрон, который всегда зажигается при виде бумаги, и еще тысячи других мелких нейронов. Если треугольник был распознан как фигура крыши дома, то зажгутся нейроны дома, крыши, может быть, у кого-то нейроны дождя и т.д.
Некоторые нейроны могут зажигаться не в результате получения сигнала органами чувств, а в случае, если зажглась какая-то комбинация нейронов.
Например, если человек увидел приближающееся к нему животное, то зажгутся нейроны животного, нейроны приближающегося объекта, нейрон размера объекта, нейрон вида объекта. Для простоты допустим, что есть нейрон, который зажигается, когда зажигается комбинация: объект приближается, хищник, большой. Предположим, этот нейрон зажегся. Назовем этот нейрон «нейрон большой зверь идет в мою сторону». Пусть есть нейрон, который зажигается всегда, когда зажигается нейрон «нейрон большой зверь идет в мою сторону». Пусть это будет нейрон «бежать» и т.д.
Решение задач по математике тоже происходит в результате последовательности зажиганий нейронов.
Например, пусть ученик увидел условие задачи, в которой дан прямоугольный треугольник и известны два катета, а найти нужно гипотенузу. В голове образованного ученика зажжется нейрон прямоугольный треугольник. Всегда, когда зажигается нейрон «прямоугольный треугольник» у обученного геометрии человека зажигается нейрон «теорема Пифагора». Если есть два катета и горит нейрон «теорема Пифагора», то зажигается нейрон «я знаю, как найти гипотенузу, зная два катета» и т.д.
Что такое образованность
Образованность в конкретной области — это наличие наработанных цепочек зажигающихся нейронов, которые регулярно приводят к правильным решениям.
Как сформировать такие связи
Связь формируется, если в ответ на ситуацию человек произвел действие и в последствии оказалось, что это действие верное. Т.е. это обычная приспосабливаемость. Причем если в ответ на ситуацию человек произвел действие, а потом оказалось, что оно неверное, то обучение тоже происходит, только такая цепочка нейронов в будущем не будет зажигаться.
В результате чего происходит обучение
Нужно пробовать решать задачи. Нужно решать задачи, которые учитывают уже имеющиеся нейронные связки.
Бесполезно решать легкие задачи: связи уже есть и вы просто их укрепляете, и это укрепление будет даже немного мешать формировать новые связи.
Бесполезно решать слишком сложные задачи, так как не хватает очень больших участков цепи нейронов. И есть риск, что она будет сформирована неправильно, если вы даже где-то прочтете решение.
Нужно решать задачи, которые требуют приращения «одного» звена к цепи нейронов.
Читать теорию, а потом решать задачи менее эффективно, чем просто решать задачи, если эти задачи выстроены в цепочку, где каждая следующая задача требует наличия всего одного звена в нейронной цепочке. Но очень часто люди сначала слушают теорию, а потом пробуют решать задачи. Это происходит потому, что состояние нейронных цепочек у всех разное и подобрать такую последовательность задач индивидуально сложно и проще сначала рассказать теорию, а потом всем решать одни и те же задачи.
Буду рад камментам с предложениями по улучшению/сокращения/исправлению этого объяснения для родителей и учеников!
В своем телеграм-канале отвечаю на частые вопросы родителей и учеников. Заходите.
Земля стационарна, сынок
— Земля крутится, говоришь?
— Земля стационарна, сынок. Она не крутится.
— Но нас по географии учат, что Земля обращается вокруг Солнца.
Классификация ВУЗов и специалистов по С.П. Капице и соавторам
Данная статья относится к Категории: Теория элит
«При рассмотрении проблемы сохранения системы высшего образования существенным, с нашей точки зрения, является выделение трёх категорий ВУЗов, основное различие между которыми состоит не в специальности, по которой производится подготовка студентов, а в масштабах влияния на общество, как текущее, так и перспективное.
Данным категориям ВУЗов отвечает соответствующая классификация людей, занятых в общественном производстве и управлении.
2. «Хранители» существующих жизненно важных технологий. В современном обществе эта группа оказывается довольно тесно связана с первой, поскольку время жизни большинства технологий существенно меньше срока профессиональной деятельности. Тем не менее, провести разграничительную черту всё же можно. Отсутствие или недостаточная подготовка специалистов этой группы приводят к техническим катастрофам различных масштабов из-за снижения уровня производства и обслуживания техники.
Соответственно, можно выделить и три группы учебных заведений.
Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Синергетика и прогнозы будущего, М., «Наука», 1997 г., с.188-189.
Изображения в статье
Сергей Петрович Капица — авиационный инженер (по образованию) и телеведущий программы о науке и учёных «Очевидное – невероятное» / CC BY-SA 4.0
Что, если наш 4D мир станет пятимерным?
Краткая текстовая версия видео:
Мир, в котором мы живем, является четырехмерным. По крайней мере в макро масштабе. В нашем мире 3 пространственных измерения и одно временное. Трехмерность пространства значит, например, то, что мы можем в нем провести три взаимно перпендикулярных координатных осей расположенных под углом 90 градусов. В таком пространстве можно двигаться «влево-вправо», «вперед-назад» и «вверх-вниз».
В трехмерном пространстве мы можем завязать узел. В двумерном пространстве завязать узел невозможно. А еще в трехмерном пространстве стул может стоять только на трех ножках или больше, стул на двух ножках потеряет равновесие и упадет (Речь идет о ножках типа такого, как на фото).
А что будет, если мы добавим еще одно пространственное измерение? То есть представим себе пятимерный мир, 4 пространственных измерения и 1 временное?
В таком мире можно провести еще одну ось перпендикулярную к остальным трем осям под углом 90 градусов. В трехмерном пространстве сделать это невозможно и как-то точно визуализировать я это не могу, так что включайте фантазию.
В пятимерном мире так же добавятся новые направления движения, которые называют «ана-ката», получается: «влево-вправо», «вперед-назад», «вверх-вниз» и «ана»-«ката». Представить себе направление движения ана и ката мы не можем, так же как существо в двумерном мире не может представить себе направления вверх и вниз.
В таком мире можно завязать двумерную сферу на узел, в нашем мире сделать это невозможно, показать, соответственно, тоже нельзя. Ну и стул с тремя ножками не сможет стоять в мире с 4 пространственными измерениями, чтобы он был устойчив потребуется 4 или больше ножек.
Ну хорошо, я понимаю, вы вряд ли Вы читаете это, чтобы узнать о узлах и ножках стула, Вас интересует, что будет с нашим миром, если внезапно в него добавить еще одно измерение, вот так по щелчку пальца «тыц» и добавили еще одно пространственное измерение и вот ты уже в 5 измерении, что с тобой будет?
Если коротко то… умрешь конечно же. А еще Земля станет приплюснутой. Сейчас расскажу как именно умрешь и почему земля станет приплюснутой.
Есть такой закон – закон обратных квадратов, и он тесно связан с размерностью пространства. Возьмем для примера светящий фонарь, интенсивность света в таком случае убывает согласно закону обратных квадратов.
Объект, перемещенный на расстояние в 2 раза большее от источника, получает только четверть той мощности, которую он получал в первоначальном положении. На расстоянии в 3 раза большее от источника – в 9 раз меньше мощности, на расстоянии в 4 раза большее от источника – 16 раз и так далее.
В законе всемирного тяготения сила гравитационного притяжения убывает тоже с квадратом расстояния. В два раза увеличиваем расстояние, сила притяжения уменьшается в 4 раза и так далее. Тоже самое с законом Кулона – сила притяжения или отталкивания заряженных частиц убывает с квадратом расстояния. В 5D мире закон обратных квадратов превращается в закон обратных кубов. Теперь интенсивность света будет падать не с квадратом расстояния, а с кубом расстояния. r^2 в законе Кулона и Законе всемирного тяготения превращается в r^3.
Это все полностью изменит химические элементы из которых мы состоим, некоторые атомы станут нестабильными, радиоактивными, другие наоборот, станут стабильными.
Например, в 5D мире магний был бы благородным газом, а не металлом, то есть некоторые элементы станут менее реактивными, другие более реактивными. Ионизация атомов будет осуществляться при значительно меньших энергиях, да и вообще агрегатное состояние различных элементов будет меняться не так, как в нашем мире, некоторые хим. элементы станут газообразны при комнатной температуре, некоторые затвердеют и такие вот вещи. Думаю, практически бессмысленно вспоминать биологические процессы, благодаря которым мы можем жить, ведь это все поменяется кардинально, мы мгновенно потеряем сознание и умрем, синтез белков, транспортировка различных аминокислот, нейромедиаторов, нервные импульсы, это все либо прекратится, либо изменится до неузнаваемости. Ну и конечно же спектры атомов изменятся, а это значит, что все резко поменяет цвет, что-то станет прозрачным, что-то непрозрачным, да и вообще привычные для нас источники света выглядели бы более тускло из-за r^3, с запахами та же история, правда уже некому будет смотреть и нюхать все это, ведь все живые существа погибнут.
Короче будет происходить полная жесть, что-то будет плавится, что-то превратится в газ, что-то затвердеет, некоторые вещества станут радиоактивными, привычные нам вещи потеряют свои свойства и перестанут работать так, как в нашем мире. Я напомню, что это все в мире, в котором 4 пространственных измерения и одно временное и в котором можно двигаться в направлении ана и ката. Но кроме дополнительного направления появятся также дополнительные степени свободы во вращении. В нашем мире ориентацию тела можно задать тремя углами, в быту это называется «наклон, подъём и поворот», в 5D мире надо представить себе еще 3 дополнительных степени свободы вращения перпендикулярные к 3 вышеупомянутым. Но по идее, на вращение Земли это не должно повлиять, момент импульса сохранится, ведь нужно, чтобы какая-то сила передала момент импульса Земле, чтобы она могла вращаться в какой-то непривычный для нас способ. Конечно Земля изменит свой привычный облик, из-за того, что свойства химических элементов изменятся, но из-за гравитации все должно также удерживаться вокруг центра масс, правда земля довольно быстро вращается, а так как гравитация в 5D мире у нас ослабевает с кубом расстояния, то земля сплюснется и формой будет напоминать что-то типа такого, как на картинке.
Но вообще, появится дополнительное направление, в котором могут двигаться частицы из которых состоит земля, планета начнет превращаться в гиперсферу, представить себе этот процесс, эти метаморфозы которые будут происходить, очень сложно.
Будут ли происходить термоядерные реакции на солнце, тут под вопросом, но изменения явно произойдут. Но вот что забавно – в пятимерном мире нет стабильных орбит. Вот, посмотрите на график, это моделирование классической задачи двух тел, оказывается, что устойчивых орбит в 5D мире нет, тела либо падают друг на друга, либо улетают в бесконечность, поэтому солнечная система, как и все другие системы, разрушится, некоторые тела упадут на другие тела, а некоторые улетят бороздить просторы галактики.
Казалось бы, следуя логике как с законом обратных квадратов, все квадраты в других уравнениях тоже надо заменить на кубы и получается, что формула эквивалентности массы и энергии в пятимерном пространстве будет работать как Е=мс в кубе, но нет, эта формула, как и множество других, не изменятся в пятимерном пространстве, она, как и множество других формул, не зависит от размерности пространства.
Но даже и без этого всего, мир в 5 мерном пространстве изменится настолько, что в нем не сможет существовать жизнь в том виде, в котором существует в четырехмерном пространстве. Вообще, оказывается, четырехмерный мир – самый простой из возможных и одновременно самый оптимальный для существования в нем жизни, стабильных орбит и химии, какой мы ее знаем.
Книга Кипа Торна, «Интерстеллар. Наука за кадром»
Единственный в своём роде треугольник Шарыгина, открытый лишь в 1982 году
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.
Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?
Но, погодите, есть же еще биссектрисы!
И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным!
Заметка Шарыгина об этом объекте опубликована в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1982.
Впрочем, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!
Основная суть доказательства сводится к рассмотрению подобных треугольников и применению теоремы косинусов, что позволяет получить вот такие выражения для сторон треугольника:
Самим доказательством (доступным каждому школьнику 9 класса!) можно проникнуться в телеграмм-канале «Математика не для всех».
Ответ на пост «Интервью с космонавтом-рекордсменом Геннадием Ивановичем Падалкой о текущем положении российской космонавтики»
Я ни на что не претендую, лишь выскажу свое мнение, которое естественно может и будет отличаться от вашего.
Это на самом деле грустно, но правда.
Мы идем по пути регресса. В микро технологиях быть может еще какие-то подвижки, вернее конвульсии у этой страны есть, но вот в макро технологиях (в т.ч. космос), утеряно давно, модернизации минимальны.
На личном примере расскажу.
Я закончил МГУТУ им. К.Г. Разумовского в 2015 году. Хотел пойти дальше в науку, но не получилось. Собственно почему?
В общем, написав диплом за 2-3 недели аж в начале 5 курса, я стал готовится к аспирантуре. Декан, уверял, что все окей, проблем не будет, там 3 места бюджетных, а желающий только один я.
За 5 лет универского времени, я посетил огромное количество мероприятия (семинары вне вуза, форумы, конференции, встречи с зарубежными (финскими и норвежскими спецами). В целом даже поступали предложения учиться за границей по обмену, но по иным причинам не сложилось.
Попытался устроится в Всероссийский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства и океанографии, оставались связи, но там все забито, и в ВНИРО, но там тоже не оказалось мест даже доцентов.
И в итоге, я с красным дипломом, крайне интересной и современной профессией «биоэкология», но в Мск трудно найти работу без связей хотя бы на 30-35 тысяч. Везде ты будешь либо науч.сотрудником на 20к и работать лет 5 таким образом.