Показать что векторы компланарны
Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
 |
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
 | 1 | 1 | 1 |  |
| 1 | 2 | 0 | ||
| 0 | -1 | 1 | ||
| 3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Онлайн калькулятор. Компланарность векторов.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить являются ли три вектора компланарными.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на проверку компланарности трех векторов и закрепить пройденый материал.
Калькулятор для проверки компланарности векторов
Ввод данных в калькулятор для проверки компланарности векторов
Из имеющихся у вас данных введите значения трех векторов которые будут проверяться на компланарность. После нажатия кнопки «Проверить компланарны ли три вектора» вы получите детальное решение задачи.
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для проверки компланарности векторов
Теория. Компланарность векторов
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Компланарные векторы
Урок 37. Геометрия 10 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Компланарные векторы»
Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.
И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.
Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.
Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.
Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.
Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.
Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.
Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.
прямоугольный параллелепипед.
Компланарны ли векторы?
а) 
, 
, 
б) 
, 
, 
Первой рассмотрим тройку 
.
Через векторы и проведём плоскость ACC1.
Рассмотрим следующую тройку векторов. 
.
В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.
Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.
Если вектор 
можно разложить по векторам 
и 
, то есть представить его в таком виде 
, где x и y некоторые числа. То векторы , и 
компланарны.
Докажем данный признак.
Рассмотрим два неколлинеарных вектора и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.
Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.
По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы , и действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.
Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.
Если векторы , и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы и являются такими по условию.
Тогда отложим векторы , и от некоторой точки О плоскости.
Вектор равен сумме векторов 
и 
, каждый из которых коллинеарен векторам и соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор представить в виде произведения вектора и некоторого числа x, а вектор — в виде произведения вектора и некоторого числа y.
Отсюда получаем, что вектор равен сумме произведений вектора на число x и вектора на число y.
Тем самым мы смогли разложить вектор по векторам и .
Что и требовалось доказать.
Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 среди данных троек векторов найти компланарные.
Первой рассмотрим тройку векторов 
.
Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.
Далее рассмотрим векторы 
, 
и 
.
Векторы 
и лежат в одной плоскости, а вектор 
пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.
Следующей рассмотрим тройку векторов , и 
.
Среди них есть пара коллинеарных векторов, и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.
Осталось рассмотреть тройку векторов , и 
.
В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору 
. Но для вектора в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.
Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.
Задача. 
тетраэдр. Точки 
и 
— середины сторон 
и 
. Доказать, что 
. Компланарны ли векторы 
, 
и 
?
Итак, сначала проведём доказательство.
Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что 
. С другой стороны вектор 
.
Сложим покомпонентно эти два равенства.
Векторы 
и 
, а также 
и 
противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.
Тогда мы получаем, что .
Что и требовалось доказать.
Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы , и .
Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.
Так мы записали разложение вектора 
по векторам и , где оба коэффициента разложения равны 
.
Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.
Если вектор можно разложить по неколлинеарным векторам и , то векторы , и 
компланарны.
Справедливо также и обратное утверждение.
Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.