Показать что плоская монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению

ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА, ЕЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА

СВЕТ КАК ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

Физическая природа света.

В рамках волновой теории свет представляет собой электромагнитные волны. Под светом в настоящее время понимают электромагнитное излучение оптического диапазона, включающего видимое, инфракрасное (ИК) и ультрафиолетовое (УФ) излучение.

Границы оптического диапазона, а также границы между его участками установлены на основе экспериментальных данных и не являются абсолютно точными. Диапазон видимых длин волн: 380 нм = =760 нм, частота колебаний порядка Гц, период колебаний с (фемтосекунды).

Электромагнитная волна – колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью.

Математическое описание оптических явлений строится на основе базовых уравнений электромагнетизма – уравнениях Максвелла.

Из уравнений Максвелла следует

1) факт существования электромагнитных волн,

2) распространение электромагнитных волн в вакууме со скоростью

, (1)

3) распространение электромагнитных волн в однородной изотропной среде со скоростью

(2)

4) Частные решения в виде плоской и сферической волн

ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА, ЕЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА

Плоская монохроматическая волна– частное решение Уравнений Максвелла. Напряженность электрического поля такой волны описывается выражением:

(3)

– волна распространяется вдоль оси z,

(4)

– волна распространяется в направлении, задаваемом вектором . Здесь – волновой вектор, длина которого равна волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны (т.е. с нормалью к волновому фронту).

В комплексном виде

. (5)

Параметры плоской монохроматической волны. (см. рис 1).

– амплитуда волны, в общем случае, комплексная.

— фаза волны,

– начальная фаза волны,

– циклическая частота волны,

, где — частота волны (Гц),

, где – период волны,

– волновой вектор, направлен в направлении распространения волны (в частном случае – вдоль оси z), перпендикулярно к волновой поверхности (поверхности равных фаз).

— волновое число, ,

— длина волны или ее пространственный период, υ – фазовая скорость волны (скорость распространения волнового фронта волны)

,

Свойства плоской монохроматической волны

1. Волна монохроматическая – колебания напряженностей электрического и магнитного полей происходят на одной частоте, т.е гармонические (по закону sin, cos).

2. Волна плоская –волновая поверхность (поверхность равных фаз, или поверхность постоянной фазы) – плоскость(см. рис 2), т.е. удовлетворяет уравнению плоскости: z=const (в общем случае ). Волновой фронт – это волновая поверхность на границе между возмущенной и невозмущенной частью пространства.

3. Поперечность электромагнитной волны – колебания векторов и перпендикулярны направлению распространения волны (см. рис. 2, 3, 4);

Рис. 2. Волновой фронт (плоскость) и структура плоской монохроматической волны (правая тройка векторов)

Рис.3. Волновой фронт (сфера) и структура сферической монохроматической волны (правая тройка векторов)

4. Правая тройка векторов – векторы , образуют правую ортогоналъную тройку векторов(cм. рис. 2, 3.);

5. Связь между векторами и – синфазность колебаний этих векторов(см. рис. 4);

Рис. 4. Синфазность колебаний напряженностей электрического и магнитного полей

6. Связь между амплитудами векторов и :

;(6)

7. Поляризация электромагнитной волны. Поляризация – свойство света, обусловленное поперечностью электромагнитных волн. Поляризация характеризует структуру колебаний вектора напряженности электрического поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (cм. рис. 5). Конец вектора в этой плоскости может описывать различные фигуры (линию, эллипс, круг). Если с течением времени эти фигуры не изменяются, свет полностью поляризован (линейно, эллиптически, циркулярно). Если состояния поляризации (фигуры) с течением времени изменяются случайным образом, свет не поляризован;

Рис. 5. Состояния поляризации плоской монохроматической волны

8. Интенсивность плоской монохроматической волны пропорциональна квадрату ее амплитуды;

9. Связь между волной и лучом.Световые лучи – это нормали к волновой поверхности (поверхности постоянной фазы волны) (cм. рис 6).

Рис. 6. Волновые поверхности в различные моменты времени и световые лучи:
в случае плоской (cлева) и сферической (справа) волн

Источник

Плоские монохроматические волны

Плоские монохроматические волны

С точки зрения математики уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме представляют собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Плоские монохроматические электромагнитные волны описываются функциями, для которых эта система превращается в алгебраическую и поэтому становится удобной для анализа. Реально существующее электромагнитное излучение может быть представлено как совокупность плоских монохроматических волн.

1.1. Система уравнений Максвелла.

Система уравнений Мак­свелла в ин­тег­раль­ной форме для элек­тромаг­нит­ного поля в веществе.

Оператор пространственного дифференцирования.

Уравнения Макс­велла в дифференциаль­ной форме.

Основные операции векторного анализа, записанные при помощи оператора пространственного дифференцирования.

Пример 1.1. Электромагнитное поле линейно поляризованной стоячей волны

Показать, что в вакууме может существовать электромагнитное поле, электрическая составляющая которого имеет вид (1.5). Рассчитать соответствующее ему магнитное поле.

Электрическая составляющая поля линейно поляризованной плоской стоячей волны.

Проверка на соответствие поля (1.5) первому уравнению Максвелла.

Условие соответствия поля (1.5) закону электромагнитной индукции Фарадея.

Магнитная составляющая поля стоячей волны.

1.2. Уравнение Д‘Аламбера для пустого пространства

Уравнения Максвелла для пустого пространства.

Вывод однород­ного уравнения ‘

Д’Аламбера для электромагнитных волн в пустом пространстве.

Уравнение Д’Аламбера для электрической компоненты электромагнитного поля.

Запись уравнения волны при помощи оператора Д’Аламбера.

Однородное уравнение Д’Аламбера в одно­мер­ном случае и его ре­шение.

Пример 1.2. Неоднородное уравнение Д’Аламбера для скалярного и векторного потенциалов

Определение векторного потенциала.

Определение скалярного потенциала (использована калибровка Лоренца).

Преобразование уравнения для ротора магнитного поля.

Калибровка Лоренца для векторного потенциала.

Неоднородное уравнение Д’Аламбера для векторного потенциала.

Неоднородное уравнение Д’Аламбера для скалярного потенциала.

Запись уравнений (15.23) и (15.24) в виде одного четырехмерного уравнения.

Система однородных уравнений Д’Аламбера для скалярного и векторного потенциалов в пустом пространстве.

1.3. Плоские монохроматические волны

Определение плос­кой монохромати­чес­кой волны (вещественная форма записи).

Определение плос­кой монохромати­чес­кой волны (комплексная форма записи).

Обозначения, которые будут часто использоваться.

Еще один вид записи плоской монохроматической волны.

Сокращенные урав­нения Максвелла для плоских моно­хро­ма­тических волн

Упрощенная система уравнений Максвелла, справедливая только для плоских монохрматических вол.

Упрощенное уравнение Д’Аламбера для случая плоских монохроматических волн в вакууме.

Дисперсионное соот­ношение для плоских монохроматических волн в вакууме.

Условие постоянство фазы на волновой поверхности.

Фазовая скорость элек­тромагнитных волн в вакууме

Поверхности пос­то­­янной фазы плос­­кой моно­хро­ма­ти­чес­кой вол­ны.

Пример 1.3. Неоднородные плоские монохроматические волны в вакууме

Показать, что уравнения Максвелла допускают существование в вакууме неоднородных волн, описываемых выражением (1.32). Найти фазовую скорость таких волн.

Определение комплексного волнового вектора и запись с его помощью выражения для неоднородной волны.

Условие поперечности для неоднородной волны.

Дисперсионное соотношение для неоднородных волн в вакууме.

Фазовая скорость неоднородной волны.

1.4. Перенос энергии плоской монохроматической волной

Определение вектора Пойтинга в олптике..

Вектор Пойтинга для плоской моно­хро­матической вол­ны.

1.5. Релятивистские свойства плоских монохроматических волн

Векторный и скалярный потенциал плоской монохроматической волны.

Фаза волны как скалярное произведение двух четырехвекторов.

Четырехкомпонентный волновой вектор и его связь с четырехвектором энергии-импульса.

Преобразования Лоренца для четырехкомпонентного волнового вектора

Пример 1.5. Оптический эффект Доплера.

Получить выражение для величины частотного сдвига в продольном и поперечном оптических эффектах доплера в случае движения источника света с заданной скоростью v

Источник

Показать что плоская монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению

плоская монохроматическая волна

На небольшое круглое отверстие диаметром d = 0,4 см в непрозрачном экране падает нормально плоская монохроматическая волна (λ = 500 нм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b = 1 м от экрана. Темное или светлое пятно будет в центре дифракционной картины, если в точке наблюдения поместить второй экран?

Найти наименьший радиус круглого отверстия на экране, если при освещении его плоской монохроматической волной в центре дифракционной картины наблюдается темное пятно, а радиус третьей зоны Френеля 2 мм.

На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на миллиметр, падает плоская монохроматическая волна (λ = 500 нм). Определить наибольший порядок спектра m, который можно наблюдать при нормальном падении лучей на решетку.

На щель падает плоская монохроматическая волна длиной волны λ = 0,6 мкм. Какова ширина щели, если изображение щели на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 1 м, имеет ширину, равную 12 мм?

На щель падает плоская монохроматическая волна длиной волны λ = 0,6 мкм. Какова ширина щели, если изображение щели на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 1 м, имеет ширину, равную 12 мм?

На щель шириной d = 0,2 мм падает плоская монохроматическая волна. Какова длина волны λ падающего излучения, если ширина изображения щели на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 1 м, равна 6 мм?

На щель шириной d = 0,2 мм падает плоская монохроматическая волна длиной волны λ = 0,6 мкм. Какова ширина изображения щели на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 2 м?

На щель падает плоская монохроматическая волна длиной волны λ = 0,5 мкм. Какова ширина щели, если изображение щели на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 2 м, имеет ширину, равную 12 мм?

На щель шириной d = 0,1 мм падает плоская монохроматическая волна. Какова длина волны λ падающего излучения, если ширина изображения щели на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 1 м, равна 12 мм?

В некоторый момент времени t₁ в точке x₁ = 0 фаза плоской монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке х₂ = 10 –3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х₂ в момент времени t₂ = 10 –2 c? Длина волны λ = 10 –4 м.

Плоская монохроматическая волна интенсивностью I₀ падает нормально на пластинку толщиной d, коэффициент отражения каждой поверхности которой равен ρ. Учитывая многократные отражения, найти интенсивность прошедшего света, если пластинка идеально прозрачная.

На щель падает нормально плоская монохроматическая волна. Расположенная за щелью линза с фокусным расстоянием 2 м проецирует на экран дифракционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос. Ширина центральной светлой полосы 5 см. Каким образом и во сколько раз нужно изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран?

В упругой среде распространяется плоская монохроматическая волна. Ниже под номерами 1, 2 изображены направления вектора скорости v поперечной волны, а под номерами 3, 4 – направления вектора скорости v продольной волны. В каких случаях колебания частиц среды могут происходить вдоль оси 0у? Укажите номера этих диаграмм.

На круглое отверстие нормально падает плоская монохроматическая волна. На расстоянии 8 м от него находится экран, где наблюдается дифракционная картина. Определить диаметр круглого отверстия, если в отверстии помещалось три зоны Френеля. Длина волны 600 нм. На сколько надо передвинуть экран наблюдения, чтобы в отверстии помещалось шесть зон Френеля?

Две плоские монохроматические волны с одинаковыми длинами волн падают нормально на две щели. Полученные от них спектральные максимумы нулевого и первого порядка изображены на рисунках. Сравните размеры щелей.

На зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна (λ = 0,5 мкм). Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояние от зонной пластинки до места наблюдения равно 1 м.

На зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна (λ = 0,48 мкм). Определить радиус второй зоны Френеля, если расстояние от зонной пластинки до места наблюдения равно 2 м.

На зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна (λ = 0,62 мкм). Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояние от зонной пластинки до места наблюдается 2 м.

Источник

Монохроматическая плоская волна

Монохроматическая плоская волна

Векторный потенциал такой волны удобнее всего написать в виде вещественной части Людмила Фирмаль

Волна монохроматична, то ее поле является простой периодической функцией от т — х / с комплексного выражения: А = Re <А0е — «(*« х / с)>. (48.2) Здесь Ао-некоторый постоянный комплексный вектор. видно, что и напряженность (48.3) поляризованные координаты

Если аргумент этого числа есть —2а (т. е. уравнение = | Ед | е_2га), то вектор Ь, определенный согласно Е 0 = он, (48,7) будет иметь вещественный квадрат Ь2 = | Ео | 2-С таким опреде лением напишем Е = Re <Ье ^ (кг «ш *« а)>. (48,8) Представим б в виде b = bi + гЬ2, В квадрате Ь2 = = b \ — + 2гЪ \ Ъ2 должен быть вещественной величиной, то b ib 2 = 0, т. е. используются би и взаимно перпендикулярны. тогда из (48,8м) Еу = Ъ \ cos (вырезать-кр + се), Ez = = Ь & 2 sin (сот-кр + а), (48,9)

мы видим ства вектор электрического поля вращается в плоскости Людмила Фирмаль

Еру соответственно, правая и левая поляризация). Наконец-то, если Ь \ или 62 равно нулю Лено везде и всегда рядом (или антипараллельно) одному В этом случае линейно поляризованной или поляризованний поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как наложение двух линейно поляризованных вол Вернемся к определению рехмерный волновой вектор # = (^, к). (48.12) 4-вектор, очевидно, что при умножении на 4 волны он дает скаляр-фазу волны: kiXг = сот-кр. (48.13)

Из определений (48.4) и (48.12) видно, что квадрат волнового к% = 0. (48.14) Это выражение должно А = Ао exp (—ik (Xг) должно быть решение волнового уравнения (46.10). Как у всякой плоской волны, в монохроматической волне, распространенные по всей стране, только следующие компоненты тензора энергии-импум. rj-100 _ rj

Наконец, используя закон преобразования волнового 4-векто можно легко рассмотреть так называемый эффект Доплера-изменение частоты волны, испускаемостьии по отношению к наблюдателю, по сравнению с «собственной» частной речью Пусть V-скорость источника, т. Е. Скорость системы отсче та К 0 относительно К.

Задачи 1. Определить направление и значение осей эллипса поляризации по комплексной амплитуде Ео- B = bi + с вещественным квадратом. Из (48.7) имеем EoES = bj + bl, [EoEq] = —2г [bib2], (1) ИЛИ b \ + b \ = A2 + B2, bi b2 = AB sin

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник