Показать что оператор эрмитов

Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_L. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u₁. и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

существует, то его общее решение представляется формулой

где и* — частное решение (6) и с_k, k = l,2. r, — произвольные постоянные.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є M_l, где M_l плотна в L₂(G), принимала только вещественные значения.

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ₀ — собственное значение, u₀ — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u₀ = λ₀u₀. Умножая скалярно это равенство на u₀, получим

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ₀ — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и₁ и и₂, соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂, ортогональны. Действительно, из соотношений

из вещественности λ₁ и λ₂ и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ₁,λ₂. повтори λ_k столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и₁,и₂,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и_k:

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система <φ_k> состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ₁,ψ₂. линейно независимых функций из L₂(G) преобразуется в ортонормальную систему φ₁,φ₂, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций <и_к> эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.

Источник

10.4. Еще о свойствах эрмитового оператора

Т°. Чтобы линейный оператор АÎL(V, V) был эрмитов необходимо и достаточно,

Достаточность. Пусть Im(Ах, Х) = 0 Þ (AIx, x) = 0 Þ Þ ||AI|| = 0 Þ AI = 0 Þ

Аz = λZ Þ = (Ах, Х),

Где Х – собственный вектор и ||Х|| = 1 ▶

Следствие: Пусть А – эрмитов оператор и M = . Тогда для собственных значений λ оператора А справедливо M £ l £ M.

Т°. Если А – самосопряженный (эрмитов) оператор и «XÎV; (Ax, X) ³ 0, то

◀ . Обозначим l = (Ax0, X0) = ||A||. Рассмотрим

||(A – lЕ)Х0||2 = (Ax0 – lX0, Ax0 – lX0) = (Ax0, Ax0) – l(Х0, Ах0) – (Ax0, X0) + l(Х0, Х0) =

= = (Ax0, Ax0) – l(Ах0, Х0) – l(Ах0, Х0) + l2(Х0, Х0) = =

Продолжаем изучение спектральных свойств эрмитовых операторов.

Т°. Пусть для эрмитового оператора А M = ; тогда M и

М – наименьшее и наибольшее собственное значение оператора А.

◀ Достаточно доказать, что M и М – собственные значения оператора А.

2) Рассмотрим В = –А Þ В – эрмитов. Þ Þ – M – собственное значение В

Тº (о собственном базисе эрмитового оператора). Если А – эрмитов оператор: АÎL(V, V) в N-мерном унитарном пространстве, то в V существует N-линейно-независимых, попарно ортогональных и единичных собственных векторах.

«ХÎV1: (Ах, е1) = (Х, Ае1) = l1(Х, Е1) 0, т. е. (Ах, е1) = 0 Þ .

2) Теперь можем рассмотреть А в V1: АÎL(V1, V1), А – эрмитов Þ lmax = l2 =

Рассмотрим V2 = ℒ^(Е1, Е2). Тогда V = V1 Å ℒ(Е1), V2 – инвариантно относительно А.

«ХÎV2: (Ах, a1Е1+a2Е2) = (Х, А(a1Е1) + А(a2Е2)) = 0,

т. е. в V существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора А ▶

Примечание: Договоримся, в дальнейшем, нумеровать собственные значения в порядке их убывания с учетом кратности, т. е. l1 ³ l2 ³ … ³ lN и соответствующие им векторы Е1, Е2, …, Еn обладают свойством (Ei, Ej) = dIj.

Примечание: Из доказанной выше теоремы следует: , или , где Еm = ℒ(Е1, Е2, …, Еm).

Т° (минимаксное свойство собственных значений). Пусть А – эрмитов оператор и l1 ³ l2 ³ … ³ lN его собственные значения, тогда где ℇM –множество всех M-мерных подпространств пространства V.

Источник

Эрмитов оператор

Смотреть что такое «Эрмитов оператор» в других словарях:

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что = для любых х, у D(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A) D(A*), 2) Ах = А * х для всех х D(A), где А * … Физическая энциклопедия

эрмитов оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия

Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

самосопряжённый оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Источник

Эрмитов оператор

Смотреть что такое «Эрмитов оператор» в других словарях:

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что = для любых х, у D(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A) D(A*), 2) Ах = А * х для всех х D(A), где А * … Физическая энциклопедия

эрмитов оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия

Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

самосопряжённый оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Источник

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 3 изд. Хар., 1978; 12] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М. 1979.
В. И. Соболев

Смотреть что такое «ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР» в других словарях:

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что = для любых х, у D(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A) D(A*), 2) Ах = А * х для всех х D(A), где А * … Физическая энциклопедия

эрмитов оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Эрмитов оператор — бесконечномерный аналог эрмитова линейного преобразования (см. Эрмитова форма). Линейный ограниченный оператор А в комплексном гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) и называется эрмитовым, если для любых двух векторов х … Большая советская энциклопедия

Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия

Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

самосопряжённый оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Источник