Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?
На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)
Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции 
), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через 
, и это не должно сбивать с толку!
Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную: 
Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:
Стиль №1. Подставим 
и 
в левую часть уравнения и проведём упрощения: 
– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция 
является корнем уравнения 
.
Стиль №2. Подставим 
и 
в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части): 
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим 
и её производную 
в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция 
тоже удовлетворяет данному уравнению.
А вот, скажем, функция 
«не подходит». И действительно, подставляя 
в уравнение 
(Стиль №2): 
– получаем неверное равенство.
Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.
Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))
– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция 
– одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить 
в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.
Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.
Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.
Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде 
и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.
Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям: 
Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные 
в левую часть: 
– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пара примеров для самостоятельного решения:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.
То же задание для функции 
и уравнения 
А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге 
.
Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!
Решения и ответы в подвале.
Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.
Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка: 
Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка: 
Подставим 
и 
в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.
Так действительно бывает!
Интересное задание для самостоятельного решения:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Краткое решение и ответ в конце урока.
И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией 
трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Решение: найдём частные производные 1-го порядка функции трёх переменных: 
Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!
Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения: 
– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: дфуду
Вот так и рождаются новые ругательства =)
Симметрия по вашу душу:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Подумайте, как рациональнее оформить решение.
Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)
Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.
Пример 2: Решение: найдём производную: 
Подставим 
и 
в левую часть уравнения: 
– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 3: Решение: найдём производную: 
Подставим 
и 
в уравнение 
: 
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию: 
Найдём частные производные первого порядка: 
Подставим 
и 
в уравнение 
: 
Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.
Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка: 
Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения: 
– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:
(т.к. константой считается «икс», то производная 
берётся как производная от показательной функции)
Подставим 
и 
в уравнение: 
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 10: Решение: преобразуем функцию: 
Найдем частные производные первого порядка: 
Подставим найденные производные в уравнение 
:
Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.
Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.
Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).
Примеры решения дифференциальных уравнений
Задание
Решить дифференциальное уравнение xy’=y.
Решение
В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь
переписываем дифференциальное уравнение, получаем
Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем
Далее интегрируем полученное уравнение:
В данном случае интегралы берём из таблицы:
После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.
Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:
Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:
Если – это константа, то
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:
– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.
Получаем общее решение:
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:
Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:
После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.
Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:
В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.
Далее упрощаем общий интеграл:
Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:
Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.
Решение
Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.
Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:
Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.
Получаем общее решение:
Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:
В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.
Решение
Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:
Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
можно выразить функцию в явном виде.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Проверка
Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:
Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.
Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную в исходное уравнение
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Задание
Найти общий интеграл уравнения
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ
Задание
Найти частное решение ДУ.
Решение
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
Подставляем в общее решение
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: