Показать что эквивалентность множеств является отношением эквивалентности

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Классы эквивалентных элементов и их свойства

Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%a%% — некоторый элемент из %%M%%. Рассмотрим множество всех элементов из %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%.

Классом эквивалентности %%M_a%%

называется множество всех элементов %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%, то есть множество

Пример

Пусть %%M%% — множество всех жителей России и %%R%% — отношение эквивалентности «проживать в одном городе». Найти классы эквивалентных элементов %%M_a%% для %%a \in M%%.

В зависимости от элемента %%a%% получаем несколько классов эквивалентности. Например, класс эквивалентности жителей Москвы или Санкт-Петербурга.

Свойства классов эквивалентности

Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%M_a, M_b, \dotsc, M_z, \dotsc%% — все классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда эти классы имеют следующие свойства.

Свойство 1

Действительно, по определению, класс %%M_a = \

a\>%%. Тогда для элемента %%a%% должно выполняться условие %%a \in M_a \leftrightarrow a

a%%, которое выполняется в связи с тем, что отношение %%R%% рефлексивно по определению отношения эквивалентности. Следовательно, %%a \in M_a%%.

Как следствие этого свойства можно сказать, что всякий класс %%M_a%% является непустым множеством.

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Разбиение множества

Совокупностью подмножеств %%M_i%%, где %%i \in I%% (множеству индексов), множества %%M%% называется разбиением множества %%M%% если выполняются следующие условия:

Теорема. Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%%. Тогда совокупность классов эквивалентности множества %%M%% образует его разбиение.

Действительно, если в качестве подмножеств %%M_i%% взять классы эквивалентности %%M_a%%, то все три условия выполняются:

Все условия определения разбиения выполнены. Следовательно классы эквивалентности есть разбиение множества %%M%%.

Примеры

Пусть дано множество %%M = \<1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \>%%, тогда разбиением этого множества могут быть следующие совокупности множеств:

Но следующие совокупности не являются разбиением:

Совокупность множеств %%C_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 3 разбиения множеств: множества %%C_1%% и %%C_3%% имеют общий элемент %%3%%.

Совокупность множеств %%D_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 1 разбиения множеств: множество %%D_4%% пусто.

Совокупность множеств %%E_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 2 разбиения множеств: объединение множеств %%E_1, E_2%% и %%E_3%% не образует множество %%M%%.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначение

Определение

Примеры

Простой пример

Отношения эквивалентности

Все следующие отношения являются отношениями эквивалентности:

Отношения, не являющиеся эквивалентами

Связь с другими отношениями

Корректная определенность при отношении эквивалентности

Класс эквивалентности, фактормножество, разбиение

Класс эквивалентности

Набор частных

Проекция

Ядро эквивалентности

Раздел

Подсчет разделов

Основная теорема об отношениях эквивалентности

Ключевой результат связывает отношения эквивалентности и разбиения:

В обоих случаях клетки разбиения X являются классами эквивалентности X по

, каждый элемент X принадлежит уникальному классу эквивалентности X по

Сравнение отношений эквивалентности

лучше, чем ≈, если каждый класс эквивалентности

является подмножеством класса эквивалентности ≈, и, таким образом, каждый класс эквивалентности ≈ является объединением классов эквивалентности

тоньше, чем ≈, если раздел, созданный с помощью

, является уточнением раздела, созданного с помощью ≈.

Отношение эквивалентности равенства является наилучшим отношением эквивалентности на любом множестве, в то время как универсальное отношение, связывающее все пары элементов, является самым грубым.

Создание отношений эквивалентности

Алгебраическая структура

Теория групп

Таким образом, для данного отношения эквивалентности

Соответствующее мышление можно найти у Розена (2008: глава 10).

Категории и группоиды

Преимущества рассмотрения отношения эквивалентности как частного случая группоида включают:

Решетки

Отношения эквивалентности и математическая логика

Из теории моделей следует, что свойства, определяющие отношение, могут быть доказаны независимыми друг от друга (и, следовательно, необходимыми частями определения) тогда и только тогда, когда для каждого свойства могут быть найдены примеры отношений, не удовлетворяющих данному свойству, но удовлетворяющих все остальные свойства. Следовательно, три определяющих свойства отношений эквивалентности могут быть доказаны взаимно независимыми на следующих трех примерах:

Свойства, определяемые в логике первого порядка, которыми отношение эквивалентности может обладать или не обладать, включают:

Евклидовы отношения

Евклида «S Элементы включает в себя следующее„Общее понятие 1“:

Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.

( aRc ∧ bRc ) → aRb (лево-евклидово соотношение) ( cRa ∧ cRb ) → aRb (Правое евклидово соотношение)

Следующая теорема связывает евклидовы отношения и отношения эквивалентности:

Источник

Что такое эквивалентность в математике и при чём здесь настоящая дружба?

Сегодня хочу рассказать Вам, что такое эквивалентность. Понятие точно Вам знакомо на бытовом уровне, однако в математике оно имеет особенный и строгий смысл, который позволит Вам по иному взглянуть на вещи. Уверяю, для каждого из Вас это будет простым материалом. Предлагаю Вам прочувствовать красоту математических суждений вместе со мной. Поехали!

Объяснение максимально подробное, поэтому может показаться затянутым.

Вот и в данном случае, чтобы понять, что такое эквивалентность в математике, необходимо разобраться со словом «отношение», которое в теории множеств имеет конкретный смысл.

То же самое легко проверяется для отношений равенства, подобия и т.д. В результате проверки могут появиться и другие отношения, например, толерантности (симметрия+рефлексия-транзитивность)

Что же значит эквивалентность в жизни?

1. Очевидно, что Вы дружны сами с собой, т.е. с рефлексией всё в порядке.

2. Если у Вас есть друг, то хорошо бы, чтобы и Вы были его другом: симметричность тоже присутствует!

Чувак, не надо по поводу и без писать «Вы» с большой буквы. Пиши всегда с маленькой, кроме начала предложения, – не ошибёшься.

Писать «Вы» можно (но только если хочешь, можно и «вы»), только обращаясь к одному конкретному человеку. Когда обращаешься ко всем пикабушникам или даже президентам и королям мира, «вы» с маленькой обязательно.

Обращение на «вы» – достаточный знак уважения. С большой буквы – это уже заискивание. А когда этих «Вы» в тексте самородком много, получается хуже, ЧЕМ ВЕСЬ ТЕКСТ КАПСОМ. Потому что Вы бросается в глаза, на него ставишь ударение вполне волей-неволей.

Просто запомни: «Вы» с большой строго обязательно только а начале предложения. Во всех остальных случаях «вы» с маленькой никогда не будет ошибкой. Ты при желании можешь писать с большой, но только при обращении к конкретному Михал Михалычу, а не к группе дам и господ.

Проблема простых-близнецов – Алексей Савватеев | Научпоп

В чём заключается одна из самых древних проблем «школьной» математики? Почему она называется «простые-близнецы» и как формулируется? Что утверждает теорема о распределении простых чисел в натуральном ряду? Как продвинулась в этой области современная математика и на какие вопросы ещё предстоит найти ответы математикам будущего?

Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.

Молдавские учёные решили проблему, над которой 140 лет бились математики всего мира

Два математика из Молдовы первыми в мире решили алгебраическую проблему, над которой 140 лет размышляли великие ученые мира. Об этом на этой неделе сообщил Технический университет Молдовы (UTM).

«Доктор физико-математических наук Михаил Попа и доктор математических наук Виктор Прикоп первыми в мире нашли решение знаменитой проблемы центра и фокуса, поставленной выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, над которой великие математики мира размышляли более века», — говорится на сайте университета.

Этой проблеме посвятили тысячи работ математики из Франции, России, Беларуссии, Китая, Великобритании, Канады, США и других стран мира. Только в Молдове число работ, посвященных проблеме Пуанкаре, приближается к сотне, отметили в UTM.

Профессор университета Михаил Попа, основатель научной школы алгебры Ли и дифференциальных систем, предложил собственное решение проблемы центра и фокуса, которое привело его к результату, ставшему открытием.

Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».

Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.

Где-то всплакнул Гриша Перельман.

Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.

Что такое наука и какие задачи она должна решать? Существует ли музыкальная наука и какими могут быть результаты применения научного метода в этой сфере? Что такое микрохроматика и как она может изменить музыку будущего, расширить возможности её создания и восприятия?

Шикарный канал. Жаль тогда ещё подписок не придумали.

Отец поступившей в МГУ девятилетней девочки заявил об угрозах от преподавателей

Преподаватели поступившей на факультет психологии Московского государственного университета (МГУ) имени М. В. Ломоносова девятилетней Алисы Тепляковой отказались искать индивидуальный подход к девочке и якобы угрожали ей отчислением за непосещаемость. Об этом в беседе с «Лентой.ру» рассказал ее отец Евгений.

«Нам необходимо взаимодействие в индивидуальном ключе с педагогами. К сожалению, очень многие преподаватели на текущий момент высказали такую позицию, что никакого вам не будет индивидуального подхода, ничего не будет. Вот есть лекции, а дальше нету времени, денег и вообще нафиг вы нам тут нужны»

По его словам, «существенное количество сотрудников» озвучили такую позицию, однако он не стал называть конкретные фамилии педагогов. При этом Тепляков подчеркнул, что официальная позиция факультета заключается в том, что ситуация с его дочерью решаема и никто ее отчислять не будет.

«Она звучит так: мы ничего вам не будем давать, вы не можете уйти вперед, мы вам не позволим, мы вам не дадим контактов ничьих, мы не будем отвечать на ваши вопросы. Вы будете сидеть вот тут, и мы будем вас оценивать. У вас будет контроль посещаемости, у вас будут проблемы, мы вас отчислим за непосещаемость»

(с) Евгений Тепляков

(о неофициальной позиции МГУ по поводу его 9-летней дочери)

.По словам Теплякова, их семья многократно говорила, что «формальные моменты из образовательной программы Алисы нужно убирать», поскольку ей девять лет и простроить занятия со 100-процентной пос

Чувак не понимает в чем принцип высшего образования. Это не зубрежка знаний, а рефлексия, то есть взаимосвязь эмпирического научного метода с умозаключительным, связывание эксперимента с опытом. А какой у ребенка опыт?

Бедный ребёнок. у девочки явно патологическая активность мозга, которая неизвестно чем и когда кончится. Дай Бог, чтобы она не свихнулась и не умерла от этого. Думаю, что пубертат может многое расставить на свои места и она станет нормальным человеком. Просто непонятно- зачем сейчас лишать ребёнка детства и гнать эту учёбу? Для чего? Что она будет делать потом, если закончит МГУ досрочно? И зачем всё это?

Решил, что буду бесплатно проверять у учеников ежедневные задания

Я преподаватель по математике и с 1 октября 2021 я открываю подготовку к профильной математике ЕГЭ 2022 для всех желающих бесплатно. Подготовка будет идти до самого экзамена. Подробнее можете прочитать о том, как все будет происходить, в моем предыдущем посте на Пикабу.

Решил, что занятия будут полезнее, если к ежедневным заданиям добавить еще и проверку мной работ учеников.

Я буду выборочно проверять работы учеников и писать комментарии ученикам лично, отдавая приоритет тем работам, которые присланы раньше других. А самые полезные для всех моменты из работ буду комментировать для всех. Но предостерегаю, что все это бесполезно без вашей собственной работы и выработки правильных привычек, которые кратно ускоряют обучение. Поэтому и пишу этот пост-дополнение.

Подготовка будет проходить здесь. Изучайте.

О правильных образовательных привычках для учеников я пишу здесь.

Бесплатно помогаю готовиться к профильному ЕГЭ по математике

Недавно я написал о том, как финансовые проблемы у некоторых моих учеников летом помогли мне придумать, как помочь тем, кто хочет сдать ЕГЭ профиль по математике, но не может или не хочет за это платить деньги.

Подготовка будет происходить здесь. Каждый день я буду публиковать задания на день с пошаговыми разборами и отвечать на вопросы по ним. Обязательно подпишитесь на канал, так как пропускать задания не очень хорошо и лучше держать темп ровным, уведомления помогут в этом. Там есть описание, как все будет происходить, а также есть ссылка на пример задания, примерно из середины курса. Он только для примера. На нем можно пощелкать и понять, как смотреть подсказки.

Делать ежедневные задания, их решения и отвечать на вопросы мы будем с вместе с еще одним преподавателем-математиком Дмитрием. Одному было бы тяжело.

Подписанных уже 100 человек, значит точно начинаем. Присоединяйтесь. Начало 1 октября 2021.

Для тех, кто хочет почитать мои мысли, о том, как нужно организовывать обучение, можете посмотреть мою телегу.

Реставрирую шкаф

Работа не быстрая, поэтому фото до. Нашел в нем тайник, в тайнике фото.
Интересует, что за формула на доске?
Пока ответа не нашлось.
Шкаф в СПБ. Ещё была найдена карта Казани печать старая начало 20 века.

Как сделать репетитора бесплатным

Я преподаватель математики. Уже давно готовлю ребят к профильному ЕГЭ по математике. У меня уже сложилась своя методика подготовки, которая из года в год показывает неплохие результаты.

Время от времени у кого-нибудь из учеников случаются финансовые сложности, то ковид, то еще что-то. Таким ученикам, я всегда предлагаю позаниматься бесплатно. Вот и в начале этого лета родители Никиты сообщили мне о трудностях и сказали, что далее обучаться он не сможет. Я предложил продолжить занятия бесплатно до конца лета, а в начале осени либо продолжить платно либо завершить обучение. За лето Никита сильно продвинулся. Осенью Никита выбрал продолжение занятий.

Из, того что я увидел за лето, я сделал интересный вывод. При достаточном уровне прилежности ученика вполне можно построить такую методику, которая будет давать ученику то же самое, что и очные занятия. К сожалению, думаю, что, если ученику особо математика не сдалась, то эффекта от такой подготовки не будет.

Как я работал с Никитой

Каждый день я высылал задание на день, рассчитанное примерно на 0.5-1.5 часа самостоятельной работы.

Разрешение возникающих вопросов

Если все же не получалось решить, то Никита писал мне в WhatsApp, и я присылал ему 1-2 шага решения. Если опять не получалось, то я присылал ему все решение. Обычно это снимало все вопросы.

Если все же остались какие-то вопросы, то он мог задать мне два вопроса в день, и я развернуто ему на них отвечал. Этого было достаточно.

Как решен вопрос с теорией

По каждой теме мной составлена последовательность задач от элементарных (которые может решить каждый) до задач уровня ЕГЭ. Эту последовательность я отлаживал последние пять лет. Удалось сделать так, что основные теоретические моменты включены в решения задач. Поэтому, прорешав последовательность и получив ответы на возникающие вопросы, ученики отлично усваивают теорию.

Приращение сложности от одной задачи к другой минимальное. Поэтому большинство учеников, решив предыдущую задачу, решат и следующую. Так, на дистанции в 10-20 задач незаметно произойдет уже заметное приращение сложности, которое без такой цепочки задач преодолеть было бы практически невозможно.

Раз в неделю Никита решал пробник и записывал свои результаты в табличку, где всем был виден прогресс.

Не так давно стал вести телеграм-канал о том, как организовать обучение, как сделать обучение эффективным, а также ответы на частые вопросы родителей и учеников: https://t.me/dobraya_problema

В результате чего происходит обучение ученика

Я учитель математики. И по роду деятельности постоянно разговариваю с учениками и их родителями на предмет того, что полезно для обучения, а что нет. И часто вынужден говорить «это хорошо, а это плохо». Мне такая ситуация очень не нравится, потому что обосновывать приходится каким-то птичьими обоснованиями типа «так всегда было», «школа такая-то или такая-то» или «британские ученые доказали».

Поэтому решил сформулировать свое представление о базисе, на основании которого можно будет потом делать хоть сколько-нибудь обоснованные выводы. Не судите сторого. Это моя попытка по-простому с помощью аналогий рассказать, как я это представляю ))

Нейроны могут либо возбуждаться в какой-то ситуации, либо не возбуждаться. Возбуждаются они только если поступил определенный сигнал из органов чувств.

Например, если увидеть треугольник, то возбудится нейрон, который отвечает за фигуру треугольник. Он узнает только ее. Причем этот треугольник может быть нарисован на листе бумаги, а может быть, это форма крыши увиденного дома. В обоих случаях нейрон треугольника будет зажжен. В случае, если треугольник был на бумаге, то зажжется еще нейрон, который всегда зажигается при виде бумаги, и еще тысячи других мелких нейронов. Если треугольник был распознан как фигура крыши дома, то зажгутся нейроны дома, крыши, может быть, у кого-то нейроны дождя и т.д.

Некоторые нейроны могут зажигаться не в результате получения сигнала органами чувств, а в случае, если зажглась какая-то комбинация нейронов.

Например, если человек увидел приближающееся к нему животное, то зажгутся нейроны животного, нейроны приближающегося объекта, нейрон размера объекта, нейрон вида объекта. Для простоты допустим, что есть нейрон, который зажигается, когда зажигается комбинация: объект приближается, хищник, большой. Предположим, этот нейрон зажегся. Назовем этот нейрон «нейрон большой зверь идет в мою сторону». Пусть есть нейрон, который зажигается всегда, когда зажигается нейрон «нейрон большой зверь идет в мою сторону». Пусть это будет нейрон «бежать» и т.д.

Решение задач по математике тоже происходит в результате последовательности зажиганий нейронов.

Например, пусть ученик увидел условие задачи, в которой дан прямоугольный треугольник и известны два катета, а найти нужно гипотенузу. В голове образованного ученика зажжется нейрон прямоугольный треугольник. Всегда, когда зажигается нейрон «прямоугольный треугольник» у обученного геометрии человека зажигается нейрон «теорема Пифагора». Если есть два катета и горит нейрон «теорема Пифагора», то зажигается нейрон «я знаю, как найти гипотенузу, зная два катета» и т.д.

Что такое образованность

Образованность в конкретной области — это наличие наработанных цепочек зажигающихся нейронов, которые регулярно приводят к правильным решениям.

Как сформировать такие связи

Связь формируется, если в ответ на ситуацию человек произвел действие и в последствии оказалось, что это действие верное. Т.е. это обычная приспосабливаемость. Причем если в ответ на ситуацию человек произвел действие, а потом оказалось, что оно неверное, то обучение тоже происходит, только такая цепочка нейронов в будущем не будет зажигаться.

В результате чего происходит обучение

Нужно пробовать решать задачи. Нужно решать задачи, которые учитывают уже имеющиеся нейронные связки.

Бесполезно решать легкие задачи: связи уже есть и вы просто их укрепляете, и это укрепление будет даже немного мешать формировать новые связи.

Бесполезно решать слишком сложные задачи, так как не хватает очень больших участков цепи нейронов. И есть риск, что она будет сформирована неправильно, если вы даже где-то прочтете решение.

Нужно решать задачи, которые требуют приращения «одного» звена к цепи нейронов.

Читать теорию, а потом решать задачи менее эффективно, чем просто решать задачи, если эти задачи выстроены в цепочку, где каждая следующая задача требует наличия всего одного звена в нейронной цепочке. Но очень часто люди сначала слушают теорию, а потом пробуют решать задачи. Это происходит потому, что состояние нейронных цепочек у всех разное и подобрать такую последовательность задач индивидуально сложно и проще сначала рассказать теорию, а потом всем решать одни и те же задачи.

Буду рад камментам с предложениями по улучшению/сокращения/исправлению этого объяснения для родителей и учеников!

В своем телеграм-канале отвечаю на частые вопросы родителей и учеников. Заходите.

Что будет с баллами ЕГЭ профильная математика в 2022

C 2022 года набор задач изменится. Это приведет к изменению ожидаемых учениками баллов. Посмотрим, как изменятся типичные ожидания.

Отличник без репетитора

В большинстве школ те ученики, кто учится на «отлично», без помощи репетиторов могли решить первую часть. Ранее это было 62 балла, а теперь 56.

Получить эти 56 баллов теперь сложнее, чем ранее 62. Убраны три первых элементарных задачи, которые давали 18 баллов. Вместо них теперь две задачи: сложная вероятность и анализ графика функции.

Итого: + минимум месяц подготовки дополнительно, и при этом результат будет ниже на 6 баллов.

Многие ученики имели цель 80 баллов. Это серьезный рубеж, так как для того, чтобы подняться выше, нужно решать стереометрию или сложную планиметрию. А это минимум два месяца подготовки. Ранее экономическая задача давала 3 первичных балла, а с 2022 года только 2.

Теперь решение первой части + уравнение + неравенство + экономическая будет давать всего 76 баллов.

Для учеников с целью 80 баллов я веду абсолютно бесплатные ежедневные занятия. В этом году старт 1 октября. Продолжительность 8 месяцев, прям до экзамена. Координация подготовки здесь.

Эта группа пострадает более всего. Тем, кому нужно перевалить порог в 27-33 балла, придется изучить ровно в два раза больше. Ранее первые три задачи из средней школы давали 14 баллов и нужно было выбрать, какие еще 3-4 задачи решить. Теперь все задачи по темам старшей школы. Для получения тех же баллов нужно решать 6-7 задач из 11-ти. Т.е. геометрию нужно осваивать даже на этом уровне.

Итого: минус примерно 10 баллов

— Изменения в целом уменьшат число набираемых баллов.

— Больше потеряют более слабые ученики, чем сильные

Я преподаватель математики. Заходите на мой канал, где я описываю свою методику подготовки и частые ответы на вопросы родиелей и учеников.

7 класс: математика

Добрый день! В этой подборке я решил собрать основные проблемы и трудности, с которыми ученик может столкнуться в 7 классе на уроках математики, и методы их решения. Сразу скажу, что мне интересно знать, нужна ли подобная подборка по физике и нужны ли подобные подборки для других классов.

Выбор подборки именно для 7 класса обусловлен тем, что чаще всего к репетитору начинают обращаться в 7 классе, потому что пробелы в математике достигают некоего видимого значения + начинается физика. Возможно, это подборка избавит от походов к репетитору.

К названиям предметов привязаны ссылки на архивы – в них задачники. В каждом пункте добавляю ссылки на ресурсы с описанием методов решения задачи (ищите зеленый цвет).

Заранее чрезвычайно рекомендую данный сайт. Отличная подборка тем по математике.

Основные получаемые умения – умение проводить сложные (в плане объема) вычисления с дробями, умение пользоваться признаками делимости, умение решать линейные уравнения разных уровней сложности, умение решать классические текстовые задачи методом введения переменных, умение решать системы линейных уравнений, умение работать с формулами сокращенного умножения, умение работать со степенями, умение строить и анализировать график линейной функции.

Необходимые умения для изучения – умение работать с целыми числами и дробями, устойчивое знание таблицы умножения, умение раскрывать скобки, умение работать с отрицательными числами.

Итак, секрет изучения всего этого очень прост – берем метод и решаем.

1. Решение сложных примеров с дробями.

Сразу приведу пример.

По большей части, к 7 классу ученики уже должны быть в состоянии решить такой пример, но… мечты, мечты. Однако начать рекомендую именно с отработки решения таких примеров – это поможет многократно вспомнить операции с дробями и, что важно, научить работать упорядоченно, по действиям.

Здесь можно взять основную теорию по решению простейших примеров с дробями.

Метод решения сложных примеров по действиям тутъ (видео на ютубе).

1.1. Десятичные дроби.

Очень важно научиться работать с десятичными дробями, ибо весь наш мир построен сейчас на них.

Обязательно необходимо тренировать ученика как можно больше считать в уме. Зачем это нужно? Дело, разумеется, не в простоте и удобстве. Да, с хорошим устным счетом в математике полегче, но в век кулькуляторов и компуктеров это не так уж и важно. А вот что важно – устный счет сильно тренирует мозг и заставляет его работать. Поэтому обратите на этот пункт особое внимание.

3. Признаки делимости.

Важная небольшая тема, которая сильно облегчает работу с дробями (в них постоянно нужно что-то сокращать) и не только. Просто выучить и закрепить несколькими примерами. Признаки – тутъ. Также эта тема есть в сборнике по алгебре 1 в архиве.

В основном могут встретиться три вида линейных уравнений. Вот примеры.

Еще раз особое внимание на эту тему – без линейных уравнений пути в физмате дальше нет. Их нужно знать и уметь уверенно решать.

Этот пункт очень важен для физики, в которой есть СИ и постоянно требуется переводить величину из одних единиц измерения в другие.

Цель очень простая – выучить свойства и научиться их использовать. Теория – тутъ.

Также полезно забежать немножко вперед по программе и сразу посмотреть принципы работы с отрицательной степенью. Теория – тутъ. Это необходимо на данном этапе чисто для физики.

6. Текстовые задачи.

“Из пункта А в пункт Б…” – ага, они самые.

Их всех текстовых задач можно выделить три основные подгруппы – задачи на движение, задачи на смеси/сплавы, задачи на совместную работу. Все остальные задачи различаются друг от друга и составляют процентов 5% от общей массы.

Задачи на движение – тутъ. Здесь советую обратить внимание на сборник по физике Кирик-7, в котором собрано много простейших задач на эту тему. Очень важно запомнить формулу путь = скорость * время, что очень легко достигнуть разбором однотипных задач. Короче, рекомендую. В сборнике это будут СР-6, СР-7, СР-8.

Сплавы/смеси и проценты– туть.

Самое главное заключается не в получении ответа. Самое главное – научиться грамотно составлять уравнения.

Маленький подпункт, который очень важен. Необходимо научиться работать с процентами, ибо они есть везде в нашем мире, но в школе им уделяется относительно крошечное внимание.

7. Формулы сокращенного умножения.

Первое – выучить. Второе – научиться пользоваться, постепенно повышая сложность заданий.

Теория и примеры тутъ и тутъ.

8. Системы линейных уравнений.

Со временем системы будут встречаться все чаще. Первый их источник опять же физика.

Обращаю внимание, что в системы нелинейных уравнений лезть пока нет смысла, поэтому если в системе есть квадраты, кубы и иже с ними – проходим мимо.

9. Линейная функция и ее график.

Основная задача – научиться грамотно строить графики. График линейной функции описывается тутъ.

Особое внимание рекомендую уделить оформлению! Вот пример – есть обозначения осей, указано начало отсчета, подписаны координаты точек и подписана сама функция над графиком.

Анализ графика описан тутъ. Это достаточно важная часть, потому что она учит критически мыслить и действовать по обстоятельствам в незнакомой задаче. В общем, заставляет думать, что очень важно.

Также вся эта теория есть в начале сборника Балаяна (есть в архиве).

В геометрии на данном этапе все просто – нужно учить теорию и закреплять ее практикой. Если не лениться, то проблемам возникать неоткуда.

Отрабатывать теорию рекомендую на двух сборниках. При начале изучения прорешивать задачи из Балаяна – они простые и сразу с рисунком. Это идеально подходит для банальной отработки теории (которая также в этом сборнике имеется).

После освоения этих тем рекомендую обратить внимание на сборник Зива – там задачи посложнее. На данном этапе важно научиться делать вспомогательный рисунок самостоятельно!

P.S. По всем возникающим вопросам – alexjuriev3142@gmail.com

Земля стационарна, сынок

— Земля крутится, говоришь?

— Земля стационарна, сынок. Она не крутится.

— Но нас по географии учат, что Земля обращается вокруг Солнца.

Классификация ВУЗов и специалистов по С.П. Капице и соавторам

Данная статья относится к Категории: Теория элит

«При рассмотрении проблемы сохранения системы высшего образования существенным, с нашей точки зрения, является выделение трёх категорий ВУЗов, основное различие между которыми состоит не в специальности, по которой производится подготовка студентов, а в масштабах влияния на общество, как текущее, так и перспективное.

Данным категориям ВУЗов отвечает соответствующая классификация людей, занятых в общественном производстве и управлении.

2. «Хранители» существующих жизненно важных технологий. В современном обществе эта группа оказывается довольно тесно связана с первой, поскольку время жизни большинства технологий существенно меньше срока профессиональной деятельности. Тем не менее, провести разграничительную черту всё же можно. Отсутствие или недостаточная подготовка специалистов этой группы приводят к техническим катастрофам различных масштабов из-за снижения уровня производства и обслуживания техники.

Соответственно, можно выделить и три группы учебных заведений.

Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Синергетика и прогнозы будущего, М., «Наука», 1997 г., с.188-189.

Изображения в статье

Сергей Петрович Капица — авиационный инженер (по образованию) и телеведущий программы о науке и учёных «Очевидное – невероятное» / CC BY-SA 4.0

Российские школьники завоевали четыре медали на Международной географической олимпиаде

Московские школьники завоевали три награды на 17-й Международной географической олимпиаде. Рустам Бигильдин из школы № 1498 «Московская международная школа» и Никита Панфилов из школы «Летово» получили золото, у Ольги Овчинниковой из школы № 1561 — серебро. Вместе с московскими учениками в команде России выступала Елена Агапова из Санкт-Петербурга, которая получила серебряную награду. Всего на счету сборной четыре медали.

Олимпиада проходила в дистанционном формате с 11 по 15 августа. В ней приняли участие команды из 46 стран мира. Страной-организатором выступила Турция. Задания всем участникам были даны на английском языке. Соревнование включало письменный тест, полевое наблюдение и мультимедийный тест.

Информация об олимпиаде опубликована на официальном сайте.

Международная географическая олимпиада проводится с 1996 года. В ней участвуют ученики в возрасте от 16 до 19 лет из разных стран мира, успешно выступившие на национальных соревнованиях по географии. В составе сборной должно быть не более четырех школьников.

Английский с нуля. Не скрываем боль. Урок 51 из 60

Как спросить “Что у вас болит”? Как ответить где болит, учитывая характер боли. Переносный смысл слов ache, pain. Пройдем фразу to cross one’s mind.

Видео взяты из мобильного приложения Английский с Анной, в нем в дополнение к теории есть еще много практических упражнений.

P.S. Я стараюсь улучшить качество подачи материала, сам материал, примеры в приложении. Спасибо, что поддерживаете плюсами и учитесь по моим урокам)

Что, если наш 4D мир станет пятимерным?

Краткая текстовая версия видео:

Мир, в котором мы живем, является четырехмерным. По крайней мере в макро масштабе. В нашем мире 3 пространственных измерения и одно временное. Трехмерность пространства значит, например, то, что мы можем в нем провести три взаимно перпендикулярных координатных осей расположенных под углом 90 градусов. В таком пространстве можно двигаться «влево-вправо», «вперед-назад» и «вверх-вниз».

В трехмерном пространстве мы можем завязать узел. В двумерном пространстве завязать узел невозможно. А еще в трехмерном пространстве стул может стоять только на трех ножках или больше, стул на двух ножках потеряет равновесие и упадет (Речь идет о ножках типа такого, как на фото).

А что будет, если мы добавим еще одно пространственное измерение? То есть представим себе пятимерный мир, 4 пространственных измерения и 1 временное?

В таком мире можно провести еще одну ось перпендикулярную к остальным трем осям под углом 90 градусов. В трехмерном пространстве сделать это невозможно и как-то точно визуализировать я это не могу, так что включайте фантазию.

В пятимерном мире так же добавятся новые направления движения, которые называют «ана-ката», получается: «влево-вправо», «вперед-назад», «вверх-вниз» и «ана»-«ката». Представить себе направление движения ана и ката мы не можем, так же как существо в двумерном мире не может представить себе направления вверх и вниз.

В таком мире можно завязать двумерную сферу на узел, в нашем мире сделать это невозможно, показать, соответственно, тоже нельзя. Ну и стул с тремя ножками не сможет стоять в мире с 4 пространственными измерениями, чтобы он был устойчив потребуется 4 или больше ножек.

Ну хорошо, я понимаю, вы вряд ли Вы читаете это, чтобы узнать о узлах и ножках стула, Вас интересует, что будет с нашим миром, если внезапно в него добавить еще одно измерение, вот так по щелчку пальца «тыц» и добавили еще одно пространственное измерение и вот ты уже в 5 измерении, что с тобой будет?

Если коротко то… умрешь конечно же. А еще Земля станет приплюснутой. Сейчас расскажу как именно умрешь и почему земля станет приплюснутой.

Есть такой закон – закон обратных квадратов, и он тесно связан с размерностью пространства. Возьмем для примера светящий фонарь, интенсивность света в таком случае убывает согласно закону обратных квадратов.

Объект, перемещенный на расстояние в 2 раза большее от источника, получает только четверть той мощности, которую он получал в первоначальном положении. На расстоянии в 3 раза большее от источника – в 9 раз меньше мощности, на расстоянии в 4 раза большее от источника – 16 раз и так далее.

В законе всемирного тяготения сила гравитационного притяжения убывает тоже с квадратом расстояния. В два раза увеличиваем расстояние, сила притяжения уменьшается в 4 раза и так далее. Тоже самое с законом Кулона – сила притяжения или отталкивания заряженных частиц убывает с квадратом расстояния. В 5D мире закон обратных квадратов превращается в закон обратных кубов. Теперь интенсивность света будет падать не с квадратом расстояния, а с кубом расстояния. r^2 в законе Кулона и Законе всемирного тяготения превращается в r^3.

Это все полностью изменит химические элементы из которых мы состоим, некоторые атомы станут нестабильными, радиоактивными, другие наоборот, станут стабильными.

Например, в 5D мире магний был бы благородным газом, а не металлом, то есть некоторые элементы станут менее реактивными, другие более реактивными. Ионизация атомов будет осуществляться при значительно меньших энергиях, да и вообще агрегатное состояние различных элементов будет меняться не так, как в нашем мире, некоторые хим. элементы станут газообразны при комнатной температуре, некоторые затвердеют и такие вот вещи. Думаю, практически бессмысленно вспоминать биологические процессы, благодаря которым мы можем жить, ведь это все поменяется кардинально, мы мгновенно потеряем сознание и умрем, синтез белков, транспортировка различных аминокислот, нейромедиаторов, нервные импульсы, это все либо прекратится, либо изменится до неузнаваемости. Ну и конечно же спектры атомов изменятся, а это значит, что все резко поменяет цвет, что-то станет прозрачным, что-то непрозрачным, да и вообще привычные для нас источники света выглядели бы более тускло из-за r^3, с запахами та же история, правда уже некому будет смотреть и нюхать все это, ведь все живые существа погибнут.

Короче будет происходить полная жесть, что-то будет плавится, что-то превратится в газ, что-то затвердеет, некоторые вещества станут радиоактивными, привычные нам вещи потеряют свои свойства и перестанут работать так, как в нашем мире. Я напомню, что это все в мире, в котором 4 пространственных измерения и одно временное и в котором можно двигаться в направлении ана и ката. Но кроме дополнительного направления появятся также дополнительные степени свободы во вращении. В нашем мире ориентацию тела можно задать тремя углами, в быту это называется «наклон, подъём и поворот», в 5D мире надо представить себе еще 3 дополнительных степени свободы вращения перпендикулярные к 3 вышеупомянутым. Но по идее, на вращение Земли это не должно повлиять, момент импульса сохранится, ведь нужно, чтобы какая-то сила передала момент импульса Земле, чтобы она могла вращаться в какой-то непривычный для нас способ. Конечно Земля изменит свой привычный облик, из-за того, что свойства химических элементов изменятся, но из-за гравитации все должно также удерживаться вокруг центра масс, правда земля довольно быстро вращается, а так как гравитация в 5D мире у нас ослабевает с кубом расстояния, то земля сплюснется и формой будет напоминать что-то типа такого, как на картинке.

Но вообще, появится дополнительное направление, в котором могут двигаться частицы из которых состоит земля, планета начнет превращаться в гиперсферу, представить себе этот процесс, эти метаморфозы которые будут происходить, очень сложно.

Будут ли происходить термоядерные реакции на солнце, тут под вопросом, но изменения явно произойдут. Но вот что забавно – в пятимерном мире нет стабильных орбит. Вот, посмотрите на график, это моделирование классической задачи двух тел, оказывается, что устойчивых орбит в 5D мире нет, тела либо падают друг на друга, либо улетают в бесконечность, поэтому солнечная система, как и все другие системы, разрушится, некоторые тела упадут на другие тела, а некоторые улетят бороздить просторы галактики.

Казалось бы, следуя логике как с законом обратных квадратов, все квадраты в других уравнениях тоже надо заменить на кубы и получается, что формула эквивалентности массы и энергии в пятимерном пространстве будет работать как Е=мс в кубе, но нет, эта формула, как и множество других, не изменятся в пятимерном пространстве, она, как и множество других формул, не зависит от размерности пространства.

Но даже и без этого всего, мир в 5 мерном пространстве изменится настолько, что в нем не сможет существовать жизнь в том виде, в котором существует в четырехмерном пространстве. Вообще, оказывается, четырехмерный мир – самый простой из возможных и одновременно самый оптимальный для существования в нем жизни, стабильных орбит и химии, какой мы ее знаем.

Книга Кипа Торна, «Интерстеллар. Наука за кадром»

Единственный в своём роде треугольник Шарыгина, открытый лишь в 1982 году

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.

Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?

Но, погодите, есть же еще биссектрисы!

И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным!

Заметка Шарыгина об этом объекте опубликована в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1982.

Впрочем, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!

Основная суть доказательства сводится к рассмотрению подобных треугольников и применению теоремы косинусов, что позволяет получить вот такие выражения для сторон треугольника:

Самим доказательством (доступным каждому школьнику 9 класса!) можно проникнуться в телеграмм-канале «Математика не для всех».

Ответ на пост «Интервью с космонавтом-рекордсменом Геннадием Ивановичем Падалкой о текущем положении российской космонавтики»

Я ни на что не претендую, лишь выскажу свое мнение, которое естественно может и будет отличаться от вашего.

Это на самом деле грустно, но правда.

Мы идем по пути регресса. В микро технологиях быть может еще какие-то подвижки, вернее конвульсии у этой страны есть, но вот в макро технологиях (в т.ч. космос), утеряно давно, модернизации минимальны.

На личном примере расскажу.

Я закончил МГУТУ им. К.Г. Разумовского в 2015 году. Хотел пойти дальше в науку, но не получилось. Собственно почему?

В общем, написав диплом за 2-3 недели аж в начале 5 курса, я стал готовится к аспирантуре. Декан, уверял, что все окей, проблем не будет, там 3 места бюджетных, а желающий только один я.

За 5 лет универского времени, я посетил огромное количество мероприятия (семинары вне вуза, форумы, конференции, встречи с зарубежными (финскими и норвежскими спецами). В целом даже поступали предложения учиться за границей по обмену, но по иным причинам не сложилось.

Попытался устроится в Всероссийский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства и океанографии, оставались связи, но там все забито, и в ВНИРО, но там тоже не оказалось мест даже доцентов.

И в итоге, я с красным дипломом, крайне интересной и современной профессией «биоэкология», но в Мск трудно найти работу без связей хотя бы на 30-35 тысяч. Везде ты будешь либо науч.сотрудником на 20к и работать лет 5 таким образом.

Источник