Множества
Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.
Подмножество
Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
Рассмотрим два множества:
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
Значение слова «подмножество»
подмно́жество
1. + род. п. матем. книжн. множество, являющееся частью другого множества
2. матем. множество, любой элемент которого принадлежит надмножеству
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова повременный (прилагательное):
Ассоциации к слову «подмножество»
Синонимы к слову «подмножество»
Предложения со словом «подмножество»
Понятия, связанные со словом «подмножество»
Отправить комментарий
Дополнительно
Предложения со словом «подмножество»
Несмотря на то что математика используется для формулирования физических теорий и понимания их следствий, вся наука не является подмножеством математики, и нет способа выводить научные теории из голой математики.
Кто кого конкретно наймёт, определяется случайно, но купец может ограничить свой выбор подмножеством незанятых агентов, о которых купец знает, что ранее они предпринимали определённые действия.
Другими словами, получают более богатое разными качествами подмножество, чем исходное.
Что такое множество 👨🎓. Свойства и операции над множествами
В этой статье рассмотрим очень важную тему, как в математике, так и в информатике – множества. Ниже Вы найдете основные определения и понятия, свойства множеств, их виды и примеры. Материал изложен таким образом, что разберется даже полный чайник. Здесь приведены, только основы, которые обычно проходятся в рамках школьной программы. Читайте!
Основные положения и обозначения
Теория множеств появилась благодаря знаменитому немецкому математику Гео́рг Ка́нтор (3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств.
Итак, начнем с основных понятий. Основное определение имеет следующий вид:
Множества (м-ва – сокр.) – наборы элементов объединенных по какому либо признаку.
Обозначаются они с помощью заглавных латинских букв, а их элементы указываются в фигурных скобках.
Примеры
\( S = \left\ < а, б, в, г, д, …, ю, я \right\>\) – мн-во букв русского алфавита.
\( S = \left\ < Алексей, Анатолий, Галина, …, Александр, Ирина \right\>\) – мн-во имен студентов в группе.
\( S = \left\ < 🐵, 🙈, 🙉, 🙊 \right\>\) – мн-во смайликов с изображением обезьянок.
Также стоит обговорить про принадлежность элементов к множеству. Записать её можно с помощью специального значка «принадлежности» – \( \in \) . Так запись вида \( x \in S \) обозначает, что элемент x принадлежит множеству S.
С основным понятием разобрались, перейдем к остальной теории.
Подмножества
Подмножество – множество S1 является подмножеством S, если каждый элемент из S1 содержится (включен) в S.
Обозначают подмножества при помощи специального значка «включения», который имеет вид \( \subset \) \( (\ S_1 \subset S \ ) \) . Также их можно отобразить схематично, используя диаграммы Эйлера, которые отображают отношения между подмножествами.
Также Вы можете выделить подмножество мужских имен, или сделать любую выборку по какому-нибудь признаку.
Мощность
Следует также выделить такое понятие, как мощность. Имеет оно следующий вид:
Мощность – количество элементов, которое содержится в множестве.
Мн-ва называются равномощными тогда и только тогда, когда количество элементов одного из них равно количеству элементов другого.
Причем неважно, какие элементы будут в этих мн-ах. Так в одном из них могут содержаться 26 букв английского алфавита, а в другом 26 марок японских автомобилей, при этом они будут равномощными.
Мощность является одним из тех свойств, благодаря которому мы можем проводить сравнение двух (или более) м-в.
Равенство
Необходимо сказать и про равенство. Для чайников правило будет выглядеть так:
Два (или несколько) множеств равны только тогда, когда равны все их элементы.
Теперь изучим виды и другие свойства мн-в в математике.
Существует много критериев и свойств, по которым мы можем классифицировать множества. Например, мы можем разделить их по количеству элементов:
А можем поделить их на конечные (ограниченные) и бесконечные:
Теперь рассмотрим примеры множеств в математике.
Примеры
Натуральные числа
Натуральные числа в математике – это те числа, которые мы используем при счете (1, 2, 3 и т.д.). Сюда не относятся отрицательные величины и нуль. Запись: \( N = \left\ < 1, 2, 3, 4, 5, … \right\>\).
Целые числа
Получаются из множества натуральных чисел. К ним добавляются отрицательные числа и нуль. \( Z = \left\ < 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, … \right\>\).
Рациональные числа
Здесь множество задается следующим образом: \( Q = \left\ <
Так как любое число в математике можно представить в виде дроби (например, \( 5 = <5 \over 1>\) ), то целые числа являются подмножеством рациональных чисел. Натуральные же числа являются подмножеством целых чисел.
\[ N \subset Z \subset Q \]
Эту теорию Вам надо запомнить.
Операции
В этом разделе рассмотрим основные операции (действия) над множествами в математике.
Пересечение
Чтобы поняли даже чайники, вернемся к нашим «мартышкам»:
\( S_ <1>= \left\ < 🙉, 🙊 \right\>\) — обезьянки показывающие лапки и глаза
\( S_ <2>= \left\ < 🙈, 🙉 \right\>\) — мартышки показывающие лапы и рот
Надо найти \( S_ <1>\ \cap \ S_ <2>\). Для этого воспользуемся диаграммами Эйлера — Венна:
Решение: \( S_ <1>\ \cap \ S_ <2>= \left\ < 🙉 \right\>\) т.к. 🙉 входит и в S1 и в S2.
Объединение
Решение: \( S_ <1>\ \cup \ S_ <2>= \left\ < 🙈, 🙉, 🙊 \right\>\)
Разность
Решение: \( S_ <1>\ \setminus \ S_ <2>= \left\ < 🙊 \right\>\)
Следует отметить, что здесь приведены не все операции. Например, не написано про симметрическую разность и законы Моргана. Их проходят в рамках высшей математики.
Заключение
Теперь Вы знаете, что такое мн-ва, знаете их свойства и какие операции над ними можно выполнять. Надеюсь я объяснил всю теорию так, что понял даже полный чайник. Если же у Вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях. Также на нашем сайте Вы можете прочитать другие статьи, например про представления чисел в компьютере. Рассказывается как выполнять с ними такие действия, как перемножение, получение суммы и деление.
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.
А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N =
Выделяют три вида множеств:
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:
Объединение
Пересечение
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
умножения S ∩ D = D ∩ S;
сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
Словари
Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов. Терминология и многие результаты этой теории широко используются в математике, например в математическом анализе, геометрии и теории вероятностей.
Сравнение множеств. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Например, мы знаем, что американские штаты находятся во взаимно однозначном соответствии с их столицами, хотя можем оставаться в неведении относительно общего их числа. Мы могли бы утверждать: «Столиц штатов ровно столько, сколько штатов». Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В теории множеств аналогичные утверждения используются, даже когда множества содержат бесконечно много элементов. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность. С понятием мощности связаны, казалось бы, удивительные результаты. Например, на первый взгляд положительных целых чисел в два раза больше, чем четных положительных чисел, так как четно каждое второе число. Но, согласно теории множеств, четных положительных чисел столько же, сколько всех положительных целых чисел. Действительно, можно образовать пары чисел 2 и 1, 4 и 2, 6 и 3 и, вообще каждому четному числу 2n поставить в соответствие целое число n. Именно это обстоятельство имел в виду Б. Рассел (1872-1970), сформулировав факт, названный им парадоксом Тристрама Шенди. Герой романа Стерна сетовал на то, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, еще один год понадобился, чтобы описать второй день, и что при таком темпе он никогда не завершит свое жизнеописание. Рассел возразил, заметив, что если бы Тристрам Шенди жил вечно, то смог бы закончить свое жизнеописание, так как события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в летописи его жизни ни один день не остался бы не запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней. Эти примеры показывают, что бесконечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие со своим бесконечным подмножеством. Иногда это свойство принимают за определение бесконечного. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между некоторым множеством и множеством положительных целых чисел, то говорят, что такое множество счетно. Для обозначения количества элементов в счетном множестве часто используют символ А0 (алеф-нуль). Так называемые «трансфинитные» числа, например А0, могут не подчиняться обычным законам арифметики. Например, так как существует А0 четных чисел, А0 нечетных и А0 целых чисел, то приходится признать, что А0 + А0 = А0. Идея сравнения множеств путем установления взаимно однозначного соответствия между ними используется в различных разделах математики. Число всех действительных чисел, как показал основатель научной теории множеств Г. Кантор (1845-1918), больше, чем А0 чисел. Следовательно, если можно показать, что множество действительных чисел, обладающих некоторым особым свойством, является всего лишь счетным множеством, то заведомо должны существовать действительные числа, этим свойством не обладающие. Например, так как множество алгебраических чисел счетно, должны существовать неалгебраические числа. Такие числа называются трансцендентными. Поразительная и далеко не очевидная теорема, высказанная в качестве гипотезы Кантором и доказанная Э. Шредером и Ф. Бернштейном около 1896, утверждает, что если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и подмножеством множества B, и между множеством B и подмножеством множества A, то существует взаимно однозначное соответствие между всем множеством A и всем множеством B.
Аксиома выбора. Неожиданные трудности в теории множеств могут возникнуть, казалось бы, в самых простых случаях. Если, например, задано семейство непересекающихся множеств, ни одно из которых не пусто, то интуитивно кажется очевидным, что мы можем построить новое множество, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества, входящего в это семейство. Но если наше семейство содержит бесконечно много множеств, то для построения нового множества может потребоваться бесконечное число произвольных выборов, а законность такого процесса при тщательном анализе становится отнюдь не очевидной. Аксиома выбора, утверждающая, что такое множество существует, была впервые сформулирована в 1904 Э. Цермело (1871-1953). До сих пор не удалось показать, что аксиома выбора следует из остальных аксиом теории множеств. Но около 1938 К.Гедель (1906-1978) показал, что если теория множеств непротиворечива (т.е. не содержит внутренних противоречий) без аксиомы выбора, то она остается непротиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора.
Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970