Представьте что вы находитесь на острове населенном рыцарями и лжецами рыцари
Представьте что вы находитесь на острове населенном рыцарями и лжецами рыцари
Предмет математики настолько серьезен,
что нужно не упускать случая делать его
Занимательная математика – это направление в математике, проявляющееся в большей степени в рамках досуга, развлечения и самообразования. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» – каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли.
Задачи о рыцарях и лжецах – разновидность увлекательных математических задач, в которых фигурируют персонажи:
Лжец (плут, вампир, сумасшедший, оборотень) – человек, всегда говорящий ложь.
Рыцарь (человек, поступающий правдиво и правильно, правдец) – человек, всегда говорящий правду.
Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Существуют задачи с тремя типами персонажей – рыцари, лжецы и нормальные люди (вариант – шпионы). Последние могут как лгать, так и говорить правду.
С задачами про рыцарей и лжецов я познакомился при подготовке к олимпиаде по математике. Это не простые, но веселые, увлекательные задачи. Они учат логически рассуждать и нестандартно мыслить. На уроках математики подобные задачи мы не решали и мне стало интересно, а знают ли о таких задачах мои одноклассники? Справятся ли с их решением? Узнать об этом я решил с помощью исследования, и назвал я его «Остров рыцарей и лжецов».
Актуальность изучения темы моей работы вижу в том, что решение логических задач способствует развитию у учеников интереса к математике, разностороннему раскрытию способностей школьников, умению самостоятельно организовать своё свободное время.
Цель моего исследования – повышение интереса к предмету математика у моих одноклассников, показать им, что решение логических задач в математике – это увлекательно.
Задачи моей исследовательской работы:
— рассмотреть задачи про рыцарей и лжецов и способы их решения;
— изучить интерес моих одноклассников к решению логических задач.
Объект исследования – занимательная математика, логические задачи.
Предмет работы – решение задач про рыцарей и лжецов для повышения наблюдательности и умения логически мыслить.
Практическая значимость моей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы при подготовке к уроку, олимпиадам, экзаменам.
Структура работы: титульный лист, оглавление, введение, теоретическая и практическая части, заключение, список использованной литературы.
1. Логические задачи в математике
1.1. Задачи о рыцарях и лжецах
Логические задачи – пожалуй, самый эффективный инструмент для развития логики и мышления как у детей, так и у взрослых.
Решение задачи на логику предполагает сложный мыслительный процесс. Это последовательное совершение определённых логических действий, работа с понятиями, использование различных логических конструкций, построение цепочки точных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями.
Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место логики, уделено в математике. Задачи, решение которых развивает логическое мышление, способствуют успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.
Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Высказывания и взаимосвязи между ними бывают так сложны, что разобраться в них без использования специальных методов сложно. Основная идея метода рассуждений состоит в том, чтобы последовательно анализировать всю информацию, имеющуюся в задаче, и делать на этой основе выводы.
Наверняка большинство из нас хотя бы раз проходили тесты на уровень логики. Большинство из них составлено из одних вопросов с подвохом.
Существует множество хитроумных задач об острове, населенном рыцарями, всегда говорящими только правду и лжецами, говорящими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец.
Так же бывают задачи с третьим типам персонажей – нормальные люди (вариант – шпионы). Они могут как лгать, так и говорить правду.
Систематическое выполнение логических заданий, решение нестандартных задач развивает, совершенствует познавательные способности и познавательную деятельность учащихся. Кроме того, выполнение задач такого вида требует постоянных умственных усилий, более глубокого анализа взаимосвязей, догадки, активизации знаний, проявления творческой инициативы.
1.2. Решение задач о рыцарях и лжецах
Жили-были на одном небольшом островке в океане два племени – рыцари и лжецы. Рыцари были настолько горды и благородны, что не могли говорить ничего, кроме правды, правды и только правды. А лжецы за годы так привыкли оправдываться, выкручиваться и хитрить, что уже не могли говорить ничего, кроме лжи. Так же на острове жили «нормальные люди», они могли говорить как правду, так и ложь. Попробуем определить, кто из них кто.
Если спросить у жителя острова «Кто ты: рыцарь или лжец?», то, кем бы он ни был, он ответит «Я – рыцарь». Рыцарь скажет про себя правду, а лжец солжет про себя. А вот ответ «Я – лжец» не даст никто, так как для рыцаря это будет ложью, а для рыцаря правдой.
Решим задачи посложнее.
На острове рыцарей и лжецов собралась компания из людей разного роста. Каждый заявил «Среди тех, кто выше меня, есть лжецы». Сколько лжецов могло быть среди них?
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья – рыцари», либо «Все мои друзья – лжецы», причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Решение: Заметим, что в паре рыцарь-лжец каждый должен сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправду. Значит фраза «Все мои друзья – лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное кол-во пар рыцарь-лжец, когда фразу сказали 100 человек, это 50. Если пар будет меньше, то и фраз тоже будет меньше.
На острове рыцарей и лжецов собралась компания из 12 человек, каждый заявил всем остальным: «Вы все лжецы!». Сколько лжецов может быть в этой компании?
Решение: Предположим, что все аборигены лжецы. Но тогда каждый из них говорит правду, чего он как лжец делать никак не может. Противоречие!
Значит, есть хотя бы один рыцарь. Рассмотрим этого рыцаря. Он должен был сказать правду. То есть все остальные 11 человек – лжецы. Каждый из них при этом говорит неправду, то есть этот пример подходит. Больше, чем один рыцарей быть не может, т.к. иначе каждый из них, сказав, что все остальные лжецы солгал бы.
По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы». Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?
Решение: Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед – лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные – лжецы) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: 2 рыцаря.
Перед нами трое жителей острова A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий – нормальный человек Эти люди высказывают следующие утверждения: A: Я нормальный человек; B: Это правда; C: Я не нормальный человек. Кто такие A, B и C?
Решение: Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно, получается, что A – либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание человека B. Значит, B – либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A – нормальный человек), поэтому B – это доблестный рыцарь, а C – маленький лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец – не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A – хитрый лжец. Это означает, что высказывание человека B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец – человек A). Итак, A – хитрый лжец, а B – нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C – доблестный рыцарь.
Как видим, решение логических задач не требует глубокого знания математики. Эти непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить, позволят приобщиться к радости самостоятельного открытия, глубже узнать окружающий мир. Их решение развивает находчивость, сообразительность, наблюдательность, умение анализировать, догадываться, доказывать, решать учебную задачу творчески.
2. Исследование уровня логического мышления учеников 5 класса
2. 1. Математика и логика на практике
Для изучения уровня логического мышления моих одноклассников, проведено небольшое исследование, в котором приняло участие двадцать человек. Всем им были предложены для решения два вида задач – математическая и логическая:
В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
Разделим пополам общее количество яблок:
1) 86 : 2 = 43 (яблока) − стало в каждой корзине;
Прибавим к половине яблок 3:
2) 43 + 3 = 46 (яблок) − было в первой корзине;
Отнимем от половины яблок 3:
3) 43 − 3 = 40 (яблок) − было во второй корзине.
Ответ: в первой корзине было 46 яблок, а во второй было 40 яблок.
Вы попали на остров, на котором живут только рыцари и лжецы. Покинуть остров можно по одному из двух мостов (А или B). Один из мостов приведет вас на большую землю и вы спасены. Другой мост ведет на непроходимые болота. Для того, чтобы выбраться, у вас есть возможность обратиться с единственным вопросом к одному из двух жителей. Имеется достоверная информация: один из двух ваших собеседников рыцарь, а другой лжец. Какой вопрос следует выбрать?
а) Ты рыцарь? б) Твой друг рыцарь? в) Мне лучше выбрать мост А? г) Твой друг отправит на мост В?
Правильный вопрос, который нужно задать одному из жителей –г) Твой друг отправит на мост В?
Если выход по мосту А, то рыцарь ответит: «Да», а лжец ответит: «Нет». Если выход по мосту B, то рыцарь ответит: «Нет», а лжец ответит «Да».
С математической задачей под №1 справились 18 человек из 20. Это задача из учебника по математики для пятого класса, подобные задачи мы решаем на уроках.
С задачей на логику под №2 справились только 5 человек из 20. Подобные задачи на уроках мы не решали, поэтому решить ее смогли только те ученики, которые занимаются математикой углубленно, решают олимпиадные задачи. Остальным ученикам задача показались сложной и непонятной.
Как видим, решение логических задач вызвало трудности и учеников. Многие, не смогли решить задачу про рыцарей и лжецов, так как никогда не решали подобные задачи.
Чтобы решить логическую задачу нужно оригинально мыслить, использовать смекалку, проявить находчивость, применить нестандартные подходы.
Развивать логическое мышление необходимо постоянно. Регулярные тренировки в решении головоломок, нестандартных задач, ребусов и задач на смекалку полезны и необходимы для ума школьников.
Считаю нужным заниматься решением логических задач не только при подготовке к олимпиадам, экзаменам, а так же на уроках математики, при выполнении домашних заданий и в свободное время для саморазвития. Так же решением логических задач можно заниматься на «классных часах», в форме командной игры. В процессе игры у ребят появится дух соперничества.
2.2. Математика – это интересно
Чтобы вызвать интерес у моих одноклассников к логическим задачам, я предложил решить две логические задачи на время.
Предварительно, я объяснил одноклассникам, кто такие рыцари и лжецы.
Саша всегда говорит правду, а Паша всегда лжёт. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы (оба ответили «да» или оба ответили «нет»)?
Ответ: «Тебя зовут Саша?»
Правильный ответ дали 10 человек из 20.
Ответ: Варенье в зеленой коробке.
Правильный ответ дали 12 человек из 20.
Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?
Ответ: Ты живешь в этом городе?
Правильный ответ дали 15 человек из 20.
Решение задач на время развило у ребят дух соперничества, стремление дать правильный ответ первым. Все 20 человек сказали, что им было интересно решать такие задачи.
Логические задачи обладают высоким потенциалом. Они приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.
Математика – интересная, многогранная, занимательная и полезная наука. Занимательная математика – это направление в математике, которое может иметь форму головоломки, игры, состязания, фокуса, задачи с «секретом».
Одна из разновидностей увлекательных математических задач – задачи о рыцарях, лжецах и нормальных людях. Лжецы всегда лгут, рыцари – говорят правду, нормальные люди – могут как лгать, так и говорить правду. Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Решение логических задач способствует развитию любознательности, сообразительности, развитию внимательности, настойчивости, целеустремлённости, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека
Таким образом, логика необходима и значима для любого человека. С помощью обоснования своих идей и взглядов логически, можно убеждать в своей правоте других людей. Логика формирует привычку анализировать свои и чужие суждения, позволяющие устранять ошибки в умозаключениях, отличать ложь от истины.
Логика улучшает память, ведь постигнув законы правильного мышления, можно более корректно обходиться с информацией. Логика упорядочивает нашу жизнь, она помогает отделить важное от неважного, отбрасывает все ненужные второстепенные вещи. Она помогает экономить наше время, что так важно человеку на сегодняшний день. Помимо этого, логика помогает шире смотреть на окружающий мир и глубже чувствовать и понимать его. Эти качества мышления имеют большое значение в любой области научной и практической деятельности.
Логические задачи будут одинаково интересны и увлечённым математикой детям, и «гуманитариям».
Список использованной литературы
Братусь Т.А. Все задачи «Кенгуру». / Братусь Т.А., Жарковская Н.А., Максимов Д.В. – СПб.: Левша, 2017. – 352 с.
Литвинов В.Л. 88 занимательных и олимпиадных задач по математике. Сборник занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. / В.Л. Литвинов. – Самара, 2017. – 43 с.
Никольский С.М. Математика 5 класс: учебник / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2018. – 269 с.
Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? / Р.М. Смаллиан. – М.: Мир, 2012. – 272 с.
Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 95 с.
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Задача по Логике
 |
Здравствуйте. Вот только недавно начал изучать логику, поэтому возникла проблема с задачей. Собственно задача:
2 )Х говорит:»Я лжец, а Y не лжец»
Кто такой Х? Кто такой Y?
3) Х говрит: «Если я рыцарь, то Y рыцарь»
Кто такой Х? Кто такой Y?
Вы встречаете трех туземцев Х, Y, Z.
4) Х говорит: «Y рыцарь»
Y говорит: «Если Х рыцарь, то Z рыцарь»
Кто такие Х, Y, Z?
5) На острове, населенном рыцарями и лжецами разнесся слух о зарытых сокровищах.
Вы спрашиваете у Х: «Есть ли на острове золото?»
Х отвечает: «Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь»
а) Можно ли определить, кто такой Х
б) Можно ли определить, если на острове сокровища?
|
| Супермодератор |
 |
Парадокс лжеца к этой задаче не имеет отношения.
Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:
|
| Супермодератор |
|
|
Вот мои размышления по поводу первой задачи.
X говорит: «Я лжец, или Y рыцарь»
| Супермодератор |
|
В этой фразе из первой задачи опечатка, вместо «ложно» должно быть «истинно». Но задача решена все равно правильно.
Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:
Остальные задачи по той же схеме. Просто не во всех будут однозначные ответы.
|
| Супермодератор |
|
 |
Вообще задачи такого типа известны. Есть и популярные книжку. Например, книжки Смаллиана.
|
| Супермодератор |
|
|
| Супермодератор |
|
Если автор вопроса что-то понял, то хорошо. Я ничего не понял.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Задачи о рыцарях и лжецах
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
РЫЦАРИ И ЛЖЕЦЫ
АОУ лицей № 11 «Физтех»
Учитель информатики Зарецкая Марина Витальевна
Презентация к урокам информатики в 5-6 классах по теме: «Задачи о рыцарях и лжецах»
Описание слайда:
Задачи о рыцарях и лжецах — разновидность задач, в которых фигурируют персонажи:
Лжец — человек (или иное существо), всегда говорящий ложь.
Рыцарь, всегда говорящий правду.
Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Задача 2
На остров рыцарей и лжецов приехал путешественник и нанял себе проводника. Однажды, увидев вдали туземца, путешественник сказал проводнику: «Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец». Вскоре проводник вернулся и сказал: «Этот человек сказал, что он лжец».
Кем был проводник, рыцарем или лжецом?
Лжецом
Описание слайда:
Задача 3
Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов.
Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?
Ты живешь в этом городе.
Описание слайда:
Описание слайда:
Задача 5
Путник встретил троих островитян и спросил каждого: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?»
Первый ответил «Ни одного», второй ответил: «Один».
Что сказал третий?
Описание слайда:
Задача 6
Путешественник, попавший на остров рыцарей и лжецов, встретил четырех людей и задал им вопрос: «Кто вы?». Он получил такие ответы:
1-ый: «Все мы лжецы»
2-ой: «Среди нас 1 лжец»
3-ий: «Среди нас 2 лжеца»
4-ый: «Я ни разу не соврал и сейчас не вру »
Путешественник быстро сообразил, кем является четвертый житель. Как он это сделал?
Описание слайда:
Задача 7
Однажды, когда я гостил на острове рыцарей и лжецов, мне встретились два местных жителя. Я спросил у одного из них: «Кто-нибудь из вас рыцарь?» Мой вопрос не остался без ответа, и я узнал то, что хотел узнать.
Кем был островитянин, к которому я обратился с вопросом: рыцарем или лжецом? Кем был другой островитянин?
Смею заверить вас, что я предоставил в ваше распоряжение информацию, достаточную для решения задачи.
Описание слайда:
Задача 8
Один из попугаев: A, B, C всегда врет, другой всегда говорит правду, а третий хитрец – иногда врет, а иногда говорит правду.
На вопрос: «Кто вы?» они ответили: А: «Я лжец», В сказал: «Я хитрец» и С: «Я абсолютно честный попугай».
Определите, кто есть кто.
Описание слайда:
Задача 9
Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: «Мы рады бы отпустить тебя, но по нашему закону ты сначала должен произнести какое-нибудь утверждение.
Если оно окажется истинным, мы съедим тебя. Если оно окажется ложным, тебя съест наш лев».
Помогите Робинзону!
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Задача 13
На острове живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят только правду. У каждого жителя острова есть одно любимое время года. Каждому островитянину было задано 4 вопроса:
Любите ли Вы зиму?
Любите ли Вы осень?
Любите ли Вы лето?
Любите ли Вы весну?
На первый и второй вопрос утвердительно ответили по 25 человек, на третий — 45, на четвёртый — 55.
Сколько лжецов на острове?
Описание слайда:
Описание слайда:
Задача 14
Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждение «
«В этой тетради ровно два неверных утверждения»
«В этой тетради ровно три неверных утверждения»
.
«В этой тетради ровно сто неверных утверждений»
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
В этой тетради 99 неверных утверждений
Описание слайда:
Задача 15
В компании из 12 аборигенов каждый заявил всем остальным: «Вы все лжецы!».
Сколько лжецов в этой компании?
Описание слайда:
Описание слайда:
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания.
Так кто украл бульон?
Описание слайда:
Задача 18
Возле огрызка Священного Яблока были задержаны 4 аборигена. Агр заявил, что Яблоко съел Бгр, который, в свою очередь, утверждал, что виноват Вгр. Вгр уверял, что Бгр лжёт, а Ггр твердил, что это сделал не он. Выяснилось, что только один из них был рыцарем.
Кто рыцарь, и кто обглодал священный фрукт?
Описание слайда:
Описание слайда:
Источники материалов
Малый мехмат МГУ http://mmmf.msu.ru/archive/20052006/z5/7.html, http://mmmf.msu.ru/archive/20082009/z7/8.html, http://mmmf.msu.ru/archive/19931994/zan12.html
Математический кружок www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/03.doc
Задачи о рыцарях и лжецах — Википедия ru.wikipedia.org/wiki/Задачи_о_рыцарях_и_лжецах
Office Microsoft. Шаблон на конкурс. Книга http://office.microsoft.com/ru-ru/templates/TC030009628.aspx
Иллюстрация «Рыцари» http://gorod.crimea.edu/librari/ist_cost/risari/004.jpg
Описание слайда:
Автор: Зарецкая Марина Витальевна
Место работы: АОУ лицей № 11 «Физтех»
Должность: учитель информатики
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Устройства внутренней памяти
Разбор примерных заданий по информатике
Звуковые и видеофайлы в презентации MS Power Point
Существенные свойства и принятие решения
Основы программирования
Диаграммы
Работа с графическими объектами в Microsoft Word (10 класс)
Борьба с компьютерными вирусами при работе на ПК
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5357210 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения
Время чтения: 1 минута
В Якутии проведут первую в РФ федеральную олимпиаду по родным языкам
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
ДНР полностью перешла на стандарты и программы России в образовании
Время чтения: 1 минута
Путин поручил разработать концепцию развития допобразования детей до 2030 года
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.