Предел физика что такое
Каковы пределы физики?
Физика интересна эффектами, которые проявляются на самых крошечных масштабах. Если бы не человеческая любознательность, мир никогда бы не узнал, что снег состоит из молекул. Одни ученые ищут возмущения известных сил, другие ищут экзотические эффекты, которых может даже не существовать — изменения в константах природы, нарушения фундаментальных симметрий… Учитывая невероятную чувствительность этих экспериментов, может показаться, что эта игра немного нечестная по отношению к природе. Но это не так: физики-экспериментаторы хоть и гениальны по-своему, но существуют определенные физические пределы, которых они надеются достичь. Давайте поместим их в три категории: технические ограничения, фундаментальные ограничения и философские ограничения.
Технические ограничения
Эти препятствия можно назвать слабыми для новой физики, потому что у технических ограничений есть свойство: они преодолеваются медленным и устойчивым прогрессом или же благодаря умному изменению в новом виде измерений. Новейшая история атомной, молекулярной и оптической физики приводит отличные примеры: поиск электрического дипольного момента электрона продолжался долгие годы, и долгие годы лучшие измерения базировались на изучении атомов таллия. Эксперименты медленно набирали чувствительность, поскольку постоянно имели дело с техническими ограничениями лаборатории — чувствительность измерений определялась размером электрического поля, которое можно было применить к электрону, а его величина определялась целесообразностью (и безопасностью).
Однако за последние несколько лет этот таллиевый предел был превзойден, сначала в эксперименте 2011 года группой Эда Хиндса в Лондоне, а потом и группой Гарварда и Йельского университета. Быстрый прогресс стал возможен благодаря переходу к другому методу: вместо того чтобы смотреть на атомы, в новых измерениях стали использовать молекулы. Измерения стали в десятки раз более чувствительными, чем были в 2010 году, и станут еще лучше в ближайшие годы.
Технические ограничения, получается, являются временными. Конкретный эксперимент может быть невозможен при определенном уровне технологического развития, но через пару лет какая-нибудь новая технология может запустить невероятный скачок (возьмите хотя бы изобретение лазера), или какой-нибудь умный физик придумает новый способ взглянуть на старые вещи под другим углом, который не потребует оригинального технологического подхода.
Фундаментальные ограничения
Примером фундаментального ограничения может быть принцип неопределенности Гейзенберга. Вопреки общепризнанному мнению, он не вытекает из измерений, а является фундаментальным ограничением, наложенным волновой природой материи (которую изо всех сил пытаются поставить под вопрос).
Тот факт, что квантовый объект вроде электрона или фотона обладает длиной волны, связанной с его импульсом, означает, что нет никакого смысла говорить о частицах с прекрасно определенной позицией и импульсом. Это не значит, что мы недостаточно умны, чтобы провести эти измерения: это значит, что эти величины не будут существовать, если попытаться измерить их одновременно.
Другой пример фундаментальных ограничений включает «теорему о запрете клонирования», которая демонстрирует, что невозможно сделать идеальную копию одной квантовой системы, а с математической стороны — теорему Гёделя о неполноте, которая показывает, что любая математическая система, достаточно сложная, чтобы быть истинной, всегда позволит сформулировать положения, истинность которых нельзя будет определить. Эти запреты запечатаны в глубокую математическую структуру Вселенной, и нет ничего, что поможет вам обойти их.
Есть интересная серая зона между технологическими и фундаментальными ограничениями, которая называется «масштабом Планка». Вы можете построить множество единиц физических измерений, объединив постоянную Планка, скорость света, гравитационную постоянную и постоянную Кулона. Эти «планковские единицы» определяют стандарты времени, длины и энергии, которые в некотором роде являются фундаментальными для физики, нам известной, и физики иногда называют «масштаб Планка» фундаментальным ограничением. Возможно, не имеет смысла даже говорить о временных интервалах, которые короче планковского времени, или энергиях, которые больше планковской энергии. С другой стороны, может быть и техническое ограничение другого типа — планковский масштаб может прятать еще более глубокую теорию, после открытия которой мы сможем говорить о невообразимо малых длинах или о невообразимо высоких энергиях, и даже исследовать их с помощью крутых экспериментов.
Философские ограничения
В некотором смысле фундаментальной проблемой здесь будет скрытое допущение нашей характеристики фундаментальных ограничений как «запеченных в глубоко математической структуре Вселенной». Эта имплицитность сама по себе подразумевает наличие глубоко математической структуры. Юджин Вигнер знаменито окрестил эту проблему «необоснованной эффективностью математики» — эмпирически складывается, что каждое физическое явление проверяется простыми математическими правилами, но почему это должно быть верно?
С более экспериментальной точки зрения подобная проблема проявляется с уникальностью. Наука строится вокруг повторяющихся событий, и мы ничего не можем сделать с единичными событиями вроде сигнала WOW! (необъяснимый радиосигнал, якобы посланный нам инопланетянами). В отсутствие возможности изучить множество проявлений конкретного события или типа событий, нет никакого разумного способа выстроить научную теорию, их объясняющую.
В обоих случаях основной проблемой будет то, что структура науки зависит от предположения, что Вселенная будет вести себя в повторяемой и логической манере, но нет никаких очевидных причин, почему бы ей стоило так себя вести. Можно представить себе Вселенную, в которой нам только кажется, что наши измерения указывают на согласованный набор математических законов, регулирующих деятельность Вселенной, но эта кажущаяся закономерность вполне может быть иллюзией.
Такой философский подход может либо бросить вызов нашему представлению о реальности, либо воодушевить в нас дерзость в стиле «хорошо, ну и что теперь?». Ученые склонны полагать, что даже если наша математическая модель окажется иллюзией, ничего это по сути не изменит. Это вопрос из разряда «а что, если свобода воли иллюзорна?» и «а не живем ли мы в матрице?». Что дальше? Нет никакого разумного способа (насколько нам известно) проверить любое из этих допущений, поэтому остается дальше проверять Вселенную на прочность и улучшать нашу (иллюзорную) научную модель. Жизнь слишком коротка, чтобы задаваться вопросами, мол, не дергает ли кто-нибудь за ниточки?
Почему существуют пределы того, что могут прогнозировать физики?
Если делить вещество во Вселенной на все меньшие и меньшие составляющие, вы в конечном итоге достигнете ограничения, столкнувшись с фундаментальной и неделимой частицей. Все макроскопические объекты можно поделить на молекулы, даже атомы, затем электроны (которые фундаментальны) и ядра, затем на протоны и нейтроны, и, наконец, внутри них будут кварки и глюоны. Электроны, кварки и глюоны — примеры фундаментальных частиц, которые нельзя разделить еще больше. Но как такое возможно, чтобы у самого времени и пространства были такие же ограничения? Почему вообще существуют значения Планка, которые уже нельзя делить дальше?
Чтобы понять, откуда берется планковская величина, стоит начать с двух столпов, которые управляют реальностью: общая теория относительности и квантовая физика.
Общая теория относительности связывает материю и энергию, существующие во Вселенной, с кривизной и деформацией ткани пространства-времени. Квантовая физика описывает, как различные частицы и поля взаимодействуют между собой внутри ткани пространства-времени, в том числе и в очень малых масштабах. Существует две фундаментальные физические константы, которые играют роль в общей теории относительности: G — гравитационная постоянная Вселенной, и c — скорость света. G возникает, поскольку задает показатель деформации пространства-времени в присутствии вещества и энергии; c — потому что это гравитационное взаимодействие распространяется в пространстве-времени на скорости света.
В квантовой механике тоже появляется две фундаментальные константы: c и h, где последняя — это постоянная Планка. c — это ограничение скорости всех частиц, скорость, с которой должны двигаться все безмассовые частицы, и максимальная скорость, с которой может распространяться любое взаимодействие. Постоянная Планка была невероятной важной для описания того, как квантуются (считаются) квантовые энергетические уровни, взаимодействия между частицами и все возможные исходы событий. Электрон, вращающийся вокруг протона, может иметь любое количество энергетических уровней, но все они появляются дискретными шагами, и размер этих шагов определяется h.
Совместите три этих постоянных: G, c и h, и сможете использовать разные их сочетания для построения шкалы длины, массы и периода времени. Они известны, соответственно, как длина Планка, масса Планка и время Планка. (Можно построить и другие величины, например, энергию Планка, температуру Планка и так далее). Все это, в общем и целом, шкала длины, массы и времени, при которых — в отсутствие какой-либо другой информации — будут значительными квантовые эффекты. Есть хорошие причины полагать, что это так и есть, и довольно легко понять — почему так.
Представьте, что у вас есть частица определенной массы. Вы задаете вопрос: «Если бы моя частица имела такую массу, в насколько малый объем ее нужно сжать, чтобы она стала черной дырой?». Вы еще можете спросить: «Если бы у меня была черная дыра определенного размера, за какое время частица, двигающаяся на скорости света, преодолела бы расстояние, равное этому размеру?». Масса Планка, длина Планка и время Планка соответствуют именно таким величинам: черная дыра планковской массы будет планковской длины и пересекаться со скорость света за планковское время.
Но планковская масса намного, намного более массивна, чем любые частицы, которые мы когда-либо создавали; она в 10 19 раз тяжелее протона! Длина Планка, точно так же, в 10 14 раз меньше любого расстояния, которое мы когда-либо зондировали, а планковское время в 10 25 раз меньше любого прямо измеренного. Эти масштабы никогда не были напрямую доступны для нас, но они важны по другой причине: планковская энергия (которую вы можете получить, поместив планковскую массу в E = mc 2 ) – это масштаб, при котором квантово-гравитационные эффекты начинают приобретать важность и значимость.
Это значит, что при энергии такой величины — или временных масштабах короче времени Планка, или шкалы длины меньше длины Планка — наши нынешние законы физики должны нарушаться. В игру вступают эффекты квантовой гравитации, и предсказания общей теории относительности перестают быть надежными. Кривизна пространства становится очень большой, а значит и «фон», который мы используем для расчета квантовых величин, тоже перестает быть надежным. Неопределенность энергии и времени означает, что неопределенности становятся выше значений, которые мы знаем как рассчитать. Короче говоря, привычная нам физика больше не работает.
Для нашей Вселенной это не проблема. Эти энергетические масштабы в 10 15 раз выше, чем те, которых может достичь Большой адронный коллайдер, и в 100 000 000 раз больше самых энергетических частиц, которые создает сама Вселенная (космические лучи высокой энергии), и даже в 10 000 раз выше показателей, которых достигла Вселенная сразу после Большого Взрыва. Но если бы мы хотели исследовать эти пределы, есть одно место, где они могут быть важны: в сингулярностях, расположенных в центрах черных дыр.
В этих местах массы, значительно превосходящие планковскую массу, сжимаются в размер, теоретически меньший длины Планка. Если во Вселенной есть место, где мы сводим все линии в одну и входим в режим Планка, то это оно. Мы не можем получить к нему доступ сегодня, потому что оно закрыто горизонтом событий черной дыры и недоступно. Но если мы будем достаточно терпеливы — а терпения потребуется много — Вселенная даст нам такую возможность.
Видите ли, черные дыры со временем медленно распадаются. Интеграция квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени ОТО означает, что небольшое количество излучения испускается в пространстве вне горизонта событий, а энергия для этого излучения исходит из массы черной дыры. Со временем масса черной дыры уменьшается, горизонт событий сжимается, и через 10 67 лет черная дыра солнечной массы полностью испарится. Если бы мы могли получить доступ ко всему излучению, покинувшему черную дыру, включая самые последние моменты ее существования, мы, несомненно, смогли бы собрать воедино все квантовые эффекты, которых не предсказывали наши лучшие теории.
Совсем не обязательно, что пространство нельзя разделить на еще более мелкие единицы, чем планковская длина, и что время нельзя разделить на единицы меньшие, чем планковское время. Просто мы знаем, что наше описание Вселенной, в том числе наши законы физики, не могут выйти за пределы этих масштабов. Квантуемо ли пространство? Течет ли время непрерывно на самом деле? И что нам делать с тем фактом, что все известные фундаментальные частицы во Вселенной имеют массы намного, намного меньше планковской? На эти вопросы в физике нет ответов. Планковские масштабы не столь фундаментальны в ограничении Вселенной, сколь в нашем понимании Вселенной. Поэтому мы продолжаем экспериментировать. Возможно, когда у нас будет больше знаний, мы получим ответы на все вопросы. Пока нет.
Пределы
Пределы — одни из самых трудных сущностей в математике для понимания. Сложно объяснить просто, что такое предел, поэтому чаще всего этого никто и не делает.
И тем более, мало к то из преподавателей может привести пример из жизни, когда пределы все-таки могут пригодиться. Но мы попытаемся объяснить так, чтобы было и понятно и несложно и по сути. Как обычно «на пальцах».
Что такое пределы простыми словами
Наверное самое наглядное, что можно вспомнить из истории, это знаменитый парадокс Зенона «Ахиллес и черепаха». Зенон был философом, а не математиком, поэтому мог вполне свободно упражняться в остроумии не заботясь о доказательствах.
Ахиллес и черепаха бегут на перегонки. Черепаха начинает первой, человек догоняет. Ахиллес бежит быстрее, но когда он пробегает 100 шагов, черепаха все рано проползает один. Еще 100 шагов и еще один. Таким образом Ахиллес приближается к черепахе но и она чуть-чуть отдаляется от него. Зенон делает вывод, что Ахиллес будет бесконечно к ней приближаться, но никогда не догонит черепаху!
В этой истории важно не то, что на самом деле она не реальна, а ее «математический смысл». Человек приближается к черепахе но никогда ее не настигает. То есть некий предел (черепаха) к которому стремится Ахиллес.
Говоря простым языком, предел это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизится.
То есть, в пределе определенного промежутка времени Ахиллес действительно не догонит черепаху (времени не хватит), но приблизится к ней на бесконечно малое расстояние.
Что такое пределы в математике
Стоит сразу сказать, что определение пределов больше чем одно, потому, что они бывают разные. Есть придел последовательности, а есть предел функции.
Давайте разделим число 10 пополам:
10/2=5, и еще раз, 5/2=2,5 и еще…
Это последовательность n/2: 10…2,5…1,25…
Если делать это 20 раз получится вот такое значение: 0,000019
А если сделать 100 раз, то вот такое: 0,000000000000000000000000000016
Если делить пополам бесконечно, результат будет уменьшатся, в реальной жизни, это будет уже фактически ноль, но в математике, все еще не ноль… Предел этой последовательности будет стремиться к нолю.
Если взять другу последовательность, например n+1. 2…3…4…5… и снова устремимся в бесконечность. Предел этого множества тоже будет стремится к бесконечности.
Еще один пример
Бросаем монетку. Может выпасть «орел», а может и «решка». Теория вероятности утверждает, что шансы всегда 50/50, то есть вероятность «орла» — 1/2=0,5.
Каждый раз, значение реальной вероятности, приближается к расчетным 0,5. Чтобы получить вероятность ровно 0,5 нужно подбросить монетку бесконечное количество раз.
То есть, при условии, что количество бросков стремится к бесконечности предел предел будет равен 0,5.
Это именно та бесконечность из матанализа о которой было сказано в статьях об интегралах и делении на ноль. Это не какое-то определенное число — это понятие.
Предел последовательности
Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения.
А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.
ε — это произвольное положительное число.
Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».
Можно сказать и так:
Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно.
Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.
Математическим языком можно записать так: s-ε Предел функции простыми словами объяснить также просто. Предел в какой-то произвольной точке — это величина к которой значение функции приближается. Например, f(x)=2x, а х→0 (икс стремится к нулю).
В этом случае предел функции будет равен lim 2x=0. Или в случае если х→2 то предел равен lim 2x=4. Пока все просто. Вот только зачем вычислять пределы, если можно просто выбросить «lim» и расчеты останутся те ми же?….
Зачем нужны пределы
Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.
Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.
В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.
В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.
Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.
Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.
x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.
Примеры из жизни
Зачем все это нужно где применяется пределы в реальных расчетах?
Простое объяснение пределов невозможно, если не привести наглядный пример. Но только где его взять? Существует ли какой-то физический смысл пределов? Не точный аналог но что-то похожее есть.
Можно провести простой эксперимент, взять, например, спичку. Или что-угодно, чего не жалко. Начинаем пытаться сломать спичку, сначала одно усилие, потом чуть больше и еще больше. В один из моментов спичка треснет пополам.
Поздравляем, вы достигли предела прочности. Можно повторить эксперимент с другими спичками и установить, значение при котором спичка ломается.
Что тут общего с пределами из математики, кроме названия.
Есть множество значений силы до предела прочности и оно ограничено, и множество значений после предела прочности, их неограниченное множество. Ведь спичка уже сломана, любое усилие выше предела прочности будет ломать новую и новую спичку. Точно так же как и с пределом функции или множества.
Все, что лежит за пределом, уже не имеет практического значения — спичка не устоит.
Еще один пример, это «практический потолок» летательного аппарата. Это максимальная высота на которую может «взобраться» самолет, чтобы подняться выше будет уже не хватать подъемной силы. Хотя на есть еще и понятие «динамический потолок» — это высота на которую можно подняться хорошенько разогнавшись.
Но, выскочив на эту высоту, через некоторое время самолет все равно опустится на свой «потолок».
Посмотрите на картинку ниже, это наглядный пример такого явления как резонанс.
Колебание моста из-за резонанса
Мост так раскачивается из-за того, что собственная частота колебания совпадает с той частотой с которой его раскачивает ветер, амплитуда колебаний постоянно возрастает и мост разрушается. В этом случае амплитуда стремится к бесконечности, так как в знаменателе формулы находится выражение w0-w (собственная частота колебаний минус вынужденная частота), а так как обе w равны, получается то самое деление на ноль, а значит амплитуда → ∞.
Самое понятное объяснений пределов в реальности, с которым может столкнуться каждый — это сложные банковские проценты по кредиту. И если вы не умеете рассчитывать сложны проценты, не берите кредит. Для тех, кто силен в матанализе совет будет не лишним.
Также может понадобится рассчитать предельную стоимость товара, зная зависимость (функцию) цены от объема продаж или предельный объем производства или много еще чего.
Самый наглядный пример, возможно, это предел в маркетинге. Вот зависимость стоимости клика от количества кликов в контекстной рекламе.
И все же, в повседневной жизни обыватель редко встречается с таким понятием как предел функции или последовательности. Поэтому и так сложно понять и принять абстрактные математические формулировки.
Но, если постараться, математика может открыть новые грани реальности, по крайней мере, все это уже не будет казаться таким скучным и непонятным.
Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.