Правила умножения что на что умножать

Правила умножения натуральных чисел

Что такое умножение

Умножение — такое арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз.

Умножение имеет широкую матрицу для применения.

Множимое — число, которое будет использоваться в математическом действии.

Множитель — число раз, сколько нужно данное число (множимое) повторить, для выполнения операции.

Произведение — итог действия, результат математической операции.

Знак умножения в алгебре обозначается (∙) точкой в середине строки. Допустимо в печати использование крест (х), в компьютерной печати нередко используется звездочка (*).

Описание основных правил, порядок действий

Чтобы произвести умножение в алгебре, нужно помнить и понимать смысл самой математической операции.

25 х 4 = 25 + 25 + 25 + 25 = 100

Множимое число 25 умножаем на множитель 4 — понимаем это как сумма четырех чисел 25, или как сумма, где 25 сложили 4 раза. 100 — произведение арифметической операции.

При умножении на число с нулями (десять, сто, тысяча, десять тысяч, миллион) достаточно в произведении к множителю дописать нули.

Познакомимся с алгоритмом умножения в столбик. Это поможет в решении многих примеров, в том числе с дробями. Ученик действует по принципу пишу, затем умножаю единицы, затем десятки, наконец сотни.

Решите пример 25 ∙ 16 с помощью столбика.

Чтобы произвести умножение столбиком, действуем последовательно.

Законы с примерами, как проверить результат

В умножении, как и в делении, сложении и вычитании, есть свои нормы и порядки.

Переместительный закон умножения

От перестановки слагаемых сумма чисел не меняется. Этот же закон действует и для умножения. Если множитель и множимое поменять местами, полученное произведение чисел не изменится.

Переместительный закон гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется.

a ∙ b = b ∙ a

Разберем переместительный закон на примере задачи.

У садовника в трех корзинах было по 14 груш. Сколько всего было груш в корзинах?

Решение: 14 ∙ 3 = 42 (груши) или 3 ∙ 14 = 42 (груши).

Ответ: 42 груши у садовника было в корзинах.

В многоэтажном доме 75 квартир. В каждой квартире проживает 5 жильцов. Сколько всего жильцов в этом многоэтажном доме?

Решение: 75 ∙ 5 = 375 (жильцов) или 5 ∙ 75 = 375 (жильцов).

Ответ: 375 жильцов всего проживает в многоэтажном доме.

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения объясняет, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

То есть фактически при решении уравнения есть возможность менять множители местами. Воспользоваться этой формулой необходимо, например, когда операцию внутри скобок провести легче, чем предложенное прямое уравнение.

71 · 25 · 4 = 71 · (25 · 4) = 710

В данном случае найти произведение 25 · 4 не составит труда у школьников, тогда как умножение 71 на 25 довольно длительная и проблематичная операция.

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения действует относительно двух других важных операций: сложение и вычитание.

а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с

Если нужно умножить число на сумму чисел, допускается умножить число отдельно на каждое из этих чисел и затем произвести сложение.

5 ∙ (12 + 16) = 5 ∙ 28 = 140

5 ∙ 12 + 5 ∙ 16 = 60 + 80 = 140

Как мы можем убедиться из этого примера, при одинаковом произведении произвести операцию в данном случае через сумму отдельных произведений a ∙ b + a ∙ с проще.

а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с

Для умножения числа на множитель, который представляет собой операцию вычитания, нужно умножить число отдельно на каждое из чисел в скобках, а затем произвести вычитание.

В данной арифметической операции к итогу 144 также можно прийти двумя способами. Решение примера по математике зависит от предложенных в задании компонентов и логической мысли ученика.

Источник

Порядок действий в математике

Основные операции в математике

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!

Источник

Умножение натуральных чисел

Я сперва покажу на примере, для чего нужно умножение, а после дам определение умножения и подробно расскажу об этом действии.

Допустим, мы хотим купить 14 тетрадей по 22 рубля каждая. Планируя покупку, нам нужно знать, сколько мы заплатим за всю покупку?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно сложить стоимость каждой тетради, которую мы хотим купить. А, так мы запланировали покупку 14 тетрадей, тогда мы складываем 22 рубля 14 раз, то есть, находим сумму 14 слагаемых, каждое из которых равно 22 :

22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22=308 (то есть, 308 рублей).

Если размер и количество одинаковых слагаемых небольшие, мы без особого труда можем найти их сумму. Но что же делать, если слагаемые многозначные и их количество велико?

Умножение – это арифметическое действие сложения определенного количества одинаковых слагаемых.

Действие умножение – это частный случай действия сложение.

Число, которое является повторяющимся слагаемым, называется множимое (то, что множится, умножается).
Число, которое указывает на количество одинаковых слагаемых, называется множитель.
Множимое и множитель имеют общее название – сомножители.
Результат действия умножения называется произведением.

22 ∙14=308,

22x14=308,

22*14=308.

При записи от руки действие умножение принято обозначать при помощи точки, косой крест используется в основном при печати, а звездочка – в компьютерном наборе. Но даже и во время компьютерного набора грамотнее использовать точку или косой крест (букву х).

Прочитать действие умножения и результат можно такими способами:

Компоненты действия умножение для двух сомножителей:

Компоненты умножения для трех сомножителей и более:

Основные свойства умножения

Поскольку действие умножение является частным случаем действия сложение, то основные свойства сложения распространяются и на умножение.

Законы умножения и их следствия

Умножение обладает такими основными свойствами, называемые законами умножения, из которых вытекают остальные свойства и следствия:

Переместительный закон умножения.
Произведение двух или нескольких сомножителей от изменения их порядка не меняется.
Это значит, что значение произведения не зависит от порядка перемножения сомножителей, то есть, от порядка выполнения действия умножение.

Для двух сомножителей мы можем записать переместительный закон умножения в общем виде так:

ab=ba.

Допустим, нам нужно подсчитать количество отделений в шкафу (рис. 1).

Это свойство также верно для трех и более сомножителей.

К примеру, нам нужно подсчитать количество отделений в двух одинаковых шкафах (рис. 2).

5 ∙3+5 ∙3 =5 ∙3 ∙2.

15+15=15 ∙2,

30=30.

3 ∙5+3 ∙5=3 ∙5 ∙2,

15+15=15 ∙2,

30=30.

Значит, 5 ∙3 ∙2=3 ∙5 ∙2=30.

Поэтому, для трех сомножителей переместительный закон умножения в общем виде выглядит так:

abc=acb=bac=bca=cab=cba.

Сочетательный закон умножения.
Результат умножения трех и более чисел не изменяется, если любые из этих сомножителей заменить их произведением.
Следовательно, мы можем группировать множители между собой каким угодно образом, и выполнять действие умножения с этими группами.

В общем виде для трех сомножителей сочетательный закон умножения можно выразить так:

abc=a(bc)=(ab)c=b(ac).

Этот закон можно назвать следствием переместительного закона умножения.

Так, при подсчете количества отделений в двух шкафах на рисунке 2, мы можем сперва найти число отделений в одном шкафу, а потом умножить результат на 2 :

(5 ∙3) ∙2=15 ∙2=30,

(3 ∙5) ∙2=15 ∙2=30,

а можем сперва найти общее количество рядов отделений в обоих шкафах, а после умножить их на количество отделений в ряду:

(3 ∙2) ∙5=6 ∙5=30.

Как видите, результат во всех случаях одинаковый.

Особые случаи умножения: умножение единицы и нуля

Если в произведении двух чисел один из сомножителей единица, то произведение равно второму сомножителю:

a ∙1=1 ∙a=a.

А при умножении единицы на любое число (например, 1 ∙ 7 ) мы находим сумму семи единиц, то есть, то количество единиц, из которых состоит данное число. Следовательно, сумма этих единиц равна самому данному числу :

1+1+1+1+1+1+1=7.

Если в произведении любого количества сомножителей одним из сомножителей является нуль, то и произведение равно нулю:

a∙b∙0=0∙a∙b=a∙0∙c=0.

Умножение однозначных чисел

Умножение двух однозначных натуральных чисел a и b – это нахождения суммы b слагаемых, каждое из которых равно числу a, и при этом a и b являются натуральными числами.

Для облегчения вычисления, были посчитаны результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга, и сведены в специальные таблицы умножения.

Умножение многозначного числа на однозначное

900+80+5+900+80+5+900+80+5+900+80+5.

Воспользуемся законами сложения и сгруппируем одинаковые слагаемые этого выражения вместе:

900+900+900+900+80+80+80+80+5+5+5+5,

(900+900+900+900)+(80+80+80+80)+(5+5+5+5).

Суммы в скобках мы можем заменить на произведение одинаковых слагаемых и числа этих слагаемых в каждых скобках:

900 ∙4+80 ∙4+5 ∙4.

Таким образом, чтобы умножить многозначное число на однозначное, достаточно умножить это однозначное число на количество единиц в каждом разряде многозначного числа, и сложить полученные результаты.

Умножение в столбик многозначного числа на однозначное

4 раза по 8 десятков – это 32 десятка. Прибавим к ним 2 десятка, которые получились после умножения однозначного числа на единицы, получим 32 десятка, то есть, 3 сотни и 2 десятка. Цифру 2 пишем под чертой в разряде десятков, а над разрядом сотен множимого 975 (в уме) ставим маленькую цифру 3 :

4 раза по 9 сотен – это 36 сотен. Прибавим к ним 3 сотни, которые держим в уме, получаем 39 сотен, или 3 тысячи и 9 сотен. Значит, пишем под горизонтальной чертой в разряде сотен цифру 9 и, поскольку в множимом 985 нет ни одной тысячи, то сразу запишем в результате под чертой цифру 3 в разряде тысяч:

Умножение многозначных чисел

Прежде чем рассказать, как в общем случае умножить одно многозначное число на другое, я расскажу о двух частных случаях умножения многозначных чисел:

Умножение на число, состоящее из единицы и любого количества нулей

327 ∙10 =3270

327 ∙100 =32700

Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, которое начинается на единицу, и заканчивается любым количеством нулей, достаточно к концу первого числа дописать столько нулей, сколько содержится во втором числе.

Умножение на число, которое начинается цифрами, и заканчивается любым количеством нулей

327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327.

(327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327).

(327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2).

(327 ∙2) ∙10.

764 ∙3 =2292.

2292 ∙100 =229200.

Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, начинающееся любыми цифрами и заканчивающееся нулями, достаточно умножить первое число на число, образованное первыми цифрами второго, а к результату приписать справа столько нулей, сколько их было в конце второго числа.
Иными словами: нужно от второго числа отбросить нули в конце, умножить получившиеся числа, а к результату приписать справа столько нулей, сколько изначально отбросили.

Общее правило умножения чисел

Количество слагаемых ( 168 ) мы можем разложить на разрядные слагаемые ( 100+60+8 ) и согласно сочетательному закону сложения сгруппировать их следующим образом : сто слагаемых плюс шестьдесят слагаемых плюс восемь слагаемых.

Исходя из определения умножения, выражения в скобках мы можем представить не в виде суммы большого количества слагаемых, а как сумму произведений:

Таким образом, чтобы умножить два многозначных числа, достаточно последовательно умножить одно из этих чисел на количество единиц каждого из разрядов второго числа, и сложить полученные результаты.

Частное произведение – это число, полученное после умножения одного из сомножителей на количество единиц какого-либо разряда другого сомножителя.

Умножение в столбик многозначных чисел

При записи действия умножения в столбик сомножители располагаются друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел ; под множителем проводим горизонтальную черту, и ставим между сомножителями знак действия умножения:

В частных произведениях обычно не пишут (опускают) нули в конце числа для упрощения записи. При этом следует не забывать, что, первую полученную цифру частного произведения нужно писать в том разряде, цифру которого мы умножаем на множимое.

Некоторые особенности записи умножения в столбик

При записи нахождения произведения двух чисел в столбик существуют некоторые особенности, которые помогают сократить запись и упростить наглядность вычисления. Все они являются следствием свойств умножения.

Попробуйте самостоятельно доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас или нет.

Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей

Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, произведение также увеличится в это же число раз.

18 ∙2 =36
18 ∙6 =108.

По-другому и быть не может, и вот почему.

Первое произведение представляет собой сумму двух слагаемых :

18+18.

Второе произведение – это сумма шести таких же слагаемых :

18+18+18+18+18+18.

(18+18)+(18+18)+(18+18).

Если уменьшить один из сомножителей в несколько раз, произведение также уменьшится в это же число раз.

Попробуйте самостоятельно доказать правильность этого свойства. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас?

Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, а второй в это же число раз уменьшить, то произведение при этом не поменяется.

32 ∙8 =256,

Увеличим первый сомножитель в 4 раза, а второй во столько же раз уменьшим:

128 ∙2 =256.

Теперь уменьшим первый сомножитель произведения 32 ∙8 в 4 раза, а второй уменьшим в это же число раз:

8 ∙32 =256.

Умножение произведения на число и числа на произведение

Если необходимо умножить произведение на число, нужно любой сомножитель этого произведения умножить на данное число, а результат умножить последовательно на оставшиеся сомножители.
(a ∙b ∙c) ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c =(b ∙d) ∙a ∙c =(c ∙d) ∙a ∙b

10 ∙7 =70 (просто приписываем к семерке нуль),
70 ∙9 =630 (находим по таблице умножения 7 ∙9 =63 и приписываем в конце нуль).

Когда я пишу «находим по таблице умножения», это означает, что мы вспоминаем эту строку из таблицы, а не ищем её там на самом деле. Таблицу умножения нужно знать наизусть!

Если необходимо умножить число на произведение, нужно умножить данное число на любой сомножитель, а результат умножить на оставшиеся сомножители.
a ∙(b ∙c ∙d) =(a ∙b) ∙c ∙d =(a ∙c) ∙b ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c.

30 ∙3 =90,

90 ∙2 =180.

Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)

Когда мы рассматривали умножение многозначного и однозначного чисел, мы раскладывали число 975 на его разрядные слагаемые ( 900+70+5 ), а потом умножали на 4 отдельно каждое это слагаемое. Аналогично можно поступать при умножении числа на любую сумму.

(5+2+4+9)+(5+2+4+9)+ (5+2+4+9).

Все эти слагаемые представляют собой одну сумму чисел, сгруппированных в определенные группы. Запишем их без скобок:

5+2+4+9+5+2+4+9+5+2+4+9,

а затем, используя переместительный и сочетательный законы сложения, сгруппируем одинаковые слагаемые:

Основываясь на определении действия умножение, так как мы имеем в каждых скобках одинаковые слагаемые, переписываем это выражение следующим образом:

5 ∙3+2 ∙3+4 ∙3+9 ∙3.

Распределительный закон умножения: для умножения суммы на любое число, необходимо каждое слагаемое этой суммы умножить на данное число, а затем сложить полученные произведения.
Согласно переместительному закону умножения, это свойство справедливо и при умножении числа на сумму.
Для умножения числа на сумму, необходимо умножить данное число на каждое слагаемое этой суммы, а результаты полученных произведения сложить.
(a+b+c+d)∙z =z∙(a+b+c+d) =a ∙z+b ∙z+c ∙z+d ∙z.

Название распределительный происходит от того, что действие умножения на сумму распределяется между каждым из слагаемых этой суммы.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 3

Источник