Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

§ 4 Энергетическая светимость. Закон Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что— связь энергетической светимости и лу­чеиспускательной способности

[ R Э ] =Дж/(м 2 ·с) = Вт/м 2

Закон Й. Стефана (австрийский ученый) и Л. Больцмана (немецкий ученый)

Показать с помощью формулы вина что

Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры.

Показать с помощью формулы вина что

Смещение Вина происходит потому, что с ростом температуры максимум излучательной способности смещается в сторону коротких длин волн.

§ 5 Формула Рэлея-Джинса, формула Вина и ультрафиолетовая катастрофа

Закон Стефана-Больцмана позволяет определять энергетическую свети­мость R Э а.ч.т. по его температуре. Закон смещения Вина связывает темпера­туру тела с длиной волны, на которую приходятся максимальная лучеиспуска­тельная способность. Но ни тот, ни другой закон не решают основной задачи о том, как велика лучеиспускательная, способность, приходящаяся на каждую λ в спектре а.ч.т. при температуре Т. Для этого надо установить функциональ­ную зависимость r λ от λ и Т.

Основываясь на представлении о непрерывном характере испускания электромагнитных волн в законе равномерного распределения энергий по сте­пеням свободы, были получены две формулы для лучеиспускательной способ­ности а.ч.т.:

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Опытная проверка показала, что для данной температуры формула Вина верна для коротких волн и даёт резкие расхождения с опытом в области длин­ных волн. Формула Рэлея-Джинса оказалась верна для длинных волн и не применима для коротких.

Показать с помощью формулы вина чтоИсследование теплового излучения с помощью формулы Рэлея-Джинса показало, что в рамках классической физики нельзя решить вопрос о функции, характеризующей излучательную способность а.ч.т. Эта неудачная попытка объяснения законов излучения а.ч.т. с помощью аппарата классической физи­ки получила название “ультрафиолетовой катастрофы”.

Если попытаться вычислить R Э с помощью формулы Рэлея-Джинса, то

Показать с помощью формулы вина что

§6 Квантовая гипотеза и формула Планка.

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

где Показать с помощью формулы вина что

Так как излучение происходит порциями, то энергия осциллятора (колеб­лющегося атома, электрона) Е принимает лишь значения кратные целому чис­лу элементарных порций энергии, то есть только дискретные значения

Впервые влияние света на ход электрических процессов было изучено Герцем в 1887 году. Он проводил опыты с электрическим разрядником и об­наружил, что при облучении ультрафиолетовым излучением разряд происхо­дит при значительно меньшем напряжении.

Показать с помощью формулы вина что

В 1889-1895 гг. А.Г. Столетов изучал воздействие света на металлы, ис­пользуя следующую схему. Два электрода: катод К из исследуемого металла и анод А (в схеме Столетова – металлическая сетка, пропускающая свет) в ваку­умной трубке подключены к батарее так, что с помощью сопротивления R можно изменять значение и знак подаваемого на них напряжения. При облу­чении цинкового катода в цепи протекал ток, регистрируемый миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил сле­дующие основные закономерности:

Ленард и Томсон в 1898 году измерили удельный заряд (е/ m ), вырывае­мых частиц, и оказалось, что он равняется удельному заряду электрона, следо­вательно, из катода вырываются электроны.

Внешним фотоэффектом называется испускание электронов веществом под действием света. Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фо­тоэффекте, называются фотоэлектронами, а образуемый ими ток называется фототоком.

С помощью схемы Столетова была получена следующая зависимость фото­тока от Показать с помощью формулы вина чтоприложенного напряжения при неизменном световом потоке Ф (то есть была получена ВАХ – вольт- амперная характеристика):

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что— энергия фотона,

Фе световой поток (мощность излучения).

1-й закон внешнего фотоэффекта (закон Столетова):

При фиксированной частоте падающего света фототок насыщения пропорционален падающему световому потоку:

Ф, ν = const Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

следовательно, можно найти максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов Vmax

Показать с помощью формулы вина что Показать с помощью формулы вина что

2- й закон фотоэффекта : максимальная начальная скорость Vmax фото­электронов не зависит от интенсивности падающего света (от Ф), а определя­ется только его частотой ν

3- й закон фотоэффекта : для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта, то есть минимальная частота νкp, зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности, при которой ещё возможен внешний фотоэффект.

Так как по волновой теории энергия, передаваемая электромагнитным полем пропорциональна интенсивности света (Ф), то свет любой; частоты, но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать электроны из металла, то есть красной границы фотоэффекта не существовало бы, что про­тиворечит 3-му закону фотоэффекта. Внешний фотоэффект является безынерционным. А волновая теория не может объяснить его безынерционность.

§ 3 Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Работа выхода

Уравнение Эйнштейна (закон сохранения энергии для внешнего фото­эффекта):

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Энергия падающего фотона hv расходуется на вырывание электрона из металла, то есть на работу выхода Авых, и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии Показать с помощью формулы вина что.

Наименьшая энергия, которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы удалить его из твердого тела в вакуум называется работой выхода.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить в c е три закона внешнего фо­тоэффекта,

1-й закон: каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интен­сивности (Ф) света

Показать с помощью формулы вина что

ν и т.к. Авых не зависит от Ф, то и Vmax не зависит от Ф

Показать с помощью формулы вина что

3-й закон: При уменьшении ν уменьшается Vmax и при ν = ν0 Vmax = 0, следовательно, 0 = Авых, следовательно, Показать с помощью формулы вина чтот.е. существует минимальная частота, начиная с которой возможен внешний фотоэффект.

Источник

Показать с помощью формулы вина что

Средняя энергетическая светимость R поверхности Земли равна 0,54 Дж/(см 2 •мин). Какова должна быть температура T поверхности Земли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициентом черноты aT = 0,25?

Показать с помощью формулы Вина, что: а) наиболее вероятная частота излучения ωвер

T; б) максимальная спектральная плотность теплового излучения (uω)макс

Т 3 ; в) энергетическая светимость Мэ

Поверхность тела нагрелась до температуры 1000 К. Затем одну половину этой поверхности нагрели на 100 К, другую охладили на 100 К. Во сколько раз изменилась энергетическая светимость поверхности этого тела?

Какое количество энергии излучает 1 см 2 затвердевающего свинца в 1 с? Отношение энергетических светимостей поверхности свинца и абсолютно черного тела для этой температуры считать равным 0,6

Какую энергетическую светимость R’э имеет затвердевающий свинец? Отношение энергетических светимостей свинца и абсолютно черного тела для данной температуры k = 0,6.

Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали l = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,31 А. Найти температуру T спирали. Считать, что по установлении равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела для данной температуры k = 0,31.

Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела λ0 = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) Re поверхности тела.

Температура тела при нагревании изменилась от температуры Т1 = 1000 К до Т2 = 3000 К. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела? На сколько изменилась длина волна, на которую приходится максимум излучения?

Принимая, что Солнце излучает как черное тело, вычислить его энергетическую светимость Me и температуру Т его поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом θ = 32′. Солнечная постоянная С = 1,4 кДж/(м 2 ·с).

Во сколько раз отличаются термодинамические температуры и энергетические светимости участков тела человека, имеющие температуру 32,5°С и 34,5°С.

Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в 2 раза?

Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, равна 0,6 мкм. Определить температуру тела и энергетическую светимость.

Определить спектральную плотность rλ, энергетической светимости (излучательности), рассчитанную на 1 нм для λ в спектре излучения абсолютно черного тела. Температура тела Т = 1 К.

Вследствие изменения температуры тела максимум его спектральной энергетической светимости переместился с λ1 = 2,5 мкм до λ2 = 0,125 мкм. Тело абсолютно черное. Во сколько раз изменилась: а) температура тела; б) интегральная энергетическая светимость?

Металлический шар радиусом R = 1 см и теплоемкостью С = 14 Дж/К при температуре T1 = 1200 К выброшен в межпланетное пространство. Через сколько времени температура шара уменьшится вдвое? При расчете принять, что отношение энергетических светимостей шара и АЧТ α = 0,4.

Определить энергетическую светимость тела человека при температуре t = 36 °C, принимая его за серое тело с коэффициентом поглощения k = 0,9. На какую длину волны приходится максимум излучения?

Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, находящееся при температуре Т = 280 К. Определить коэффициент поглощения аT, если энергетическая светимость ее поверхности равна Rэ = 325 кДж/м 2 ·ч.

Принимая коэффициент теплового излучения аT угля при температуре Т = 600 К равным 0,8, определить: 1) энергетическую светимость угля; 2) энергию W, излучаемую с поверхности угля с площадью S = 5 см 2 за время t = 10 мин.

Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке равен 0,3 мм. длина спирали 5 см. При включении лампочки в сеть с напряжением 127 В протекает ток 0,3 А. Найти длину волны, на которую приходится максимум излучательной способности лампочки. Считать, что в равновесии все тепло теряется вследствие излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела принять равным 0,4. Ответ выразить в мкм.

Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,25 мм, длина спирали l = 2 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,37 А. Найти температуру Т спирали. Считать, что при установлении равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетической светимостей вольфрама и абсолютно черного тела данной температуры k = 0,3.

Звезда Вега имеет радиус 2,1·10 9 м, а максимум ее энергетической светимости приходится на длину волны 0,305 мкм. На каком расстоянии от этой звезды должна вращаться планета, чтобы падающий на нее поток излучения был таким же, как для Земли в солнечной системе (1,4 кВт/м 2 )? Во сколько раз это расстояние больше, чем расстояние от Солнца до Земли?

При нагревании тела длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности, изменилась от 1,2 до 1,5 мкм. На сколько изменилась максимальная излучательная способность тела? На сколько изменилась энергетическая светимость тела?

Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум энергетической светимости соответствует длине волны примерно 500 нм. Определите температуру излучающей поверхности Солнца.

Принимая Солнце за черное тело и учитывая, что максимум его энергетической светимости приходится на длину волны 500 нм, определить: 1) температуру поверхности солнца; 2) энергию, излучаемую солнцем за 1 с; 3) массу, теряемую солнцем за счет излучения за это время.

Отверстие в стенке мартеновской печи площадью 20 см 2 излучает так, что максимум его энергетической светимости приходится на длину волны 1,45 мкм. Какой тепловой поток создает это отверстие на расстоянии 1,5 м?

Раскаленная металлическая поверхность площадью 10 см 2 излучает в 1 мин 4 10 4 Дж. Температура поверхности 2500 К. Найдите: 1) Излучение этой поверхности, если бы она была абсолютно черной. 2) Отношение энергетической светимости этой поверхности и абсолютно черного тела при данной температуре.

Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела λM = 0,65 мкм. Определить энергетическую светимость Re поверхности тела.

При какой температуре давление теплового излучения равно нормальному атмосферному (иметь в виду, что давление теплового излучения p = w/3, где w — объемная плотность энергии излучения, а полная энергетическая светимость RT = wc/4, где с – скорость света)?

При какой концентрации n молекул газа его давление равно давлению теплового излучения при той же температуре (иметь в виду, что давление теплового излучения p = w/3, где w — объемная плотность энергии излучения, а полная энергетическая светимость RT = wc/4, где с — скорость света)? Температура равна 300 К.

Источник

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Диапазоны длин волн D l и частот D ω и D n определяются функциональной зависимостью

из которой следует

Показать с помощью формулы вина что

Поле излучения внутри чёрного тела изотропно, поэтому его поток равен нулю. Тем не менее, существует специальная модель, в которой рассматривается не внутренняя область, а граница изотропного источника. Излучение границы анизотропно и, следовательно, поток от неё отличен от нуля. В рамках такой модели справедлив известный закон Стефана–Больцмана для полного, проинтегрированного по всему спектру потока излучения от чёрного тела: поток пропорционален четвёртой степени температуры.

2.1. Особенности спектра излучения

В этом разделе мы изложим основные результаты экспериментов, на которых основана теория чёрнотельного излучения.

Формула Рэлея-Джинса

В диапазоне предельно малых частот,

Показать с помощью формулы вина что

именуемом областью Рэлея–Джинса, плотность энергии пропорциональна температуре T и квадрату частоты ω:

Показать с помощью формулы вина что

На рис.2.1.1 эта область помечена РД. Формула Рэлея-Джинса может быть выведена чисто

Показать с помощью формулы вина что

классическим путём, без привлечения квантовых представлений. Чем выше температура чёрного тела, тем шире диапазон частот, в котором справедлива эта формула. Она объясняется в классической теории, но её нельзя распространять на высокие частоты (пунктирная линия на рис.2.1.1), так как просуммированная по спектру плотность энергии в этом случае бесконечно велика:

Показать с помощью формулы вина что

Эту особенность закона Рэлея-Джинса называют «ультрафиолетовой катастрофой».

Формула Вина.

В диапазоне больших частот (область В на рис.2.1.1) справедлива формула Вина:

Показать с помощью формулы вина что

Хорошо видно, что правая часть меняется немонотонно. Если частота не слишком велика, то преобладает множитель ω 3 и функция U ω возрастает. По мере увеличения частоты рост U ω замедляется, она проходит через максимум, а затем убывает за счёт экспоненциального множителя. Наличие максимума в спектре излучения отличает виновский диапазон от области Рэлея-Джинса.

Чем больше температура тела, тем выше граничная частота, начиная с которой выполняется формула Вина. Величина параметра a в экспоненте правой части зависит от выбора единиц, в которых измеряются температура и частота. Вывод формулы Вина требует привлечения квантовых представлений о природе света.

Закон смещения Вина

Обозначим ω max частоту максимума функции Планка. Закон смещения Вина гласит, что она пропорциональна температуре, следовательно:

Показать с помощью формулы вина что

Закон Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана заключается в том, что плотность энергии чёрнотельного излучения, проинтегрированная по всем частотам, пропорциональна четвёртой степени температуры:

Показать с помощью формулы вина что

Он часто используется в астрономии при определении светимости звезды по её температуре. Для этого необходимо перейти от плотности излучения к наблюдаемой величине — потоку. Формула для интегрального по спектру потока излучения будет выведена в третьей главе.

2.2. Число осцилляторов в единице объёма

Показать с помощью формулы вина что

Перейдём к вычислению dN ω и E >.

Число осцилляторов

Подсчёт числа осцилляторов мы выполним по методу, предложенному Рэлеем и реализованному Джинсом. Число осцилляторов dN ω равно количеству стоячих волн в рассматриваемом объеме. Подсчёт числа колебаний можно выполнить и в терминах длин волн

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что Показать с помощью формулы вина что

где N x , N y и N z — целые положительные числа. Совокупность таких значений k x , k y , k z обеспечивает наличие узлов на гранях куба. Модуль k волнового вектора выражается через его проекции, как модуль любого вектора:

Показать с помощью формулы вина что

Для нахождения числа осцилляторов удобно воспользоваться простым геометрическим приёмом. Выберем N x , N y и N z из формулы (2.4) за координатные оси в воображаемом пространстве чисел. На рис. 2.1 изображена часть этого пространства. Каждой тройке чисел N x , N y и N z на этом рисунке отвечает точка. Введём величину

Показать с помощью формулы вина что

Если числа N x , N y и N z достаточно велики, то их функция N будет меняться почти непрерывно и на рис.(2.1) изобразится радиус-вектором. Согласно (2.4–6), модуль волнового вектора однозначно выражается через N :

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Таким образом, число волн, или число осцилляторов с величиной волнового числа между k и k + dk и с определённым направлением поляризации в объёме V = L 3 равно

Показать с помощью формулы вина что

Последнее равенство справа получилось после дифференцирования (2.7). Нам осталось умножить полученное выражение на 2 — число независимых направлений поляризации излучения, и, воспользовавшись формулой (2.3), перейти к шкале частот:

Показать с помощью формулы вина что

В силу большой важности (2.8), приведём другой его вывод, основанный на формуле (2.3) первой главы

Показать с помощью формулы вина что

и проинтегрируем по угловым переменным:

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

откуда следует выражение для числа квантов в объёме V и в интервале частот d ω с заданным направлением поляризации:

Показать с помощью формулы вина что

Если теперь учесть наличие у фотона двух независимых поляризаций, то снова получится формула (2.8). Примечательно, что она не содержит постоянной Планка. Это обстоятельство служит указанием на то, что она может быть получена в рамках классического рассмотрения.

Теперь вычислим среднюю энергию осциллятора. Рассмотрим последовательно случаи классического и квантового осцилляторов

2.3 Средняя энергия классического осциллятора

Энергия одномерного осциллятора выражается через импульс p и координату q :

Показать с помощью формулы вина что

В классической статистике равновесное распределение частиц (в данном случае осцилляторов) по энергиям определяется формулой

Показать с помощью формулы вина что

Поэтому средняя энергия равна

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что Показать с помощью формулы вина что

В последнем интеграле переменные P и Q разделяются. После сокращения общих множителей в числителе и знаменателе приходим к формуле

Показать с помощью формулы вина что

Интегралы в числителе и знаменателе обоих слагаемых могут быть приведены к виду

Показать с помощью формулы вина что

Поскольку в нашем случае n принимает только два значения: 0 и 2, то подынтегральная функция в (3.2) — четная и выражение для интегралов I 0,2 могут быть записаны в виде

Показать с помощью формулы вина что

С помощью последней формулы перепишется выражение для энергии:

Показать с помощью формулы вина что

Для вычисления интегралов I n воспользуемся определением гамма–функции

Показать с помощью формулы вина что

из которого следует

Показать с помощью формулы вина что

Тогда интегралы I n запишутся в виде

Показать с помощью формулы вина что

Теперь можно выписать интересующее нас выражение для средней

энергии одномерного осциллятора

Показать с помощью формулы вина что

Вернемся к формуле (2.1). Подставляя в неё величину средней энергии из (3.3), получим

Показать с помощью формулы вина что

Итак, закон Рэлея–Джинса получается на основании классических рассуждений.

2.4 Квантовый осциллятор

Как отмечалось выше, формулу Вина нельзя получить на основании классических представлений. Планку удалось воспроизвести спектр излучения чёрного тела во всём диапазоне частот после того, как он высказал предположение о дискретности энергетического спектра осцилляторов. Гипотеза Планка входила в явное противоречие с представлениями классической физики. Согласно Планку, испускание и поглощение излучения происходит порциями энергии (квантами)

где ω — частота осциллятора. Сам осциллятор находится в дискретных энергетических состояниях

пронумерованных целым неотрицательным числом

Таким образом, энергетические уровни осциллятора образуют, как говорят, эквидистантный спектр: разность энергии любых двух соседних уровней одна и та же — ħ ω. Спектр энергии в таком случае представляет собой дискретный набор уровней. Осциллятор может находится в каждом из этих состояний, а при переходах между соседними состояниями излучается или поглощается энергия ħ ω.

Согласно гипотезе Планка, чтобы найти среднюю энергию одномерного осциллятора, нужно интегралы в (3.1) заменить суммами:

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

перепишем выражение для в виде:

Показать с помощью формулы вина что

представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем e – x :

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

откуда следует выражение для A :

Показать с помощью формулы вина что

Теперь легко убедиться, что искомое отношение A/B равно

Показать с помощью формулы вина что

Итак, средняя энергия кванта определяется температурой излучения T и элементарной порцией энергии ħ ω:

Показать с помощью формулы вина что

Полезно выделить так называемые числа заполнения

Показать с помощью формулы вина что

которые представляют собой число фотонов, приходящихся на одну моду колебаний. Тогда

Показать с помощью формулы вина что

Подставляя (4.6) и (2.8) в (2.1), получим полное выражение для плотности энергии с учётом квантовых эффектов:

Показать с помощью формулы вина что

Это есть окончательное выражение для формулы Планка, дающей спектр излучения абсолютно чёрного тела во всём диапазоне частот. Спектральное распределение числа фотонов легко получается из плотности энергии:

Показать с помощью формулы вина что

Ниже будут приведены формулы для интенсивности излучения и потока от границы чёрного тела.

2.5 Примеры

В каких условиях можно ожидать проявления квантовых свойств осцилляторов? В общем случае — когда малы числа заполнения. Рассмотрим следующие примеры.

1) Макроскопический случай. Частота колебаний механических приборов — пружин, маятников — по порядку величины близка к обратной секунде: ω

Энергетическая щель между уровнями получилась настолько малой, что ни при каких достижимых в настоящее время температурах квантования таких осцилляторов мы наблюдать не можем.

Известно, что этот инструмент в состоянии измерять потоки радиоизлучения около 10 –28 /(Вт м‍ –‍2 Гц) в полосе частот D n от 200 МГц до 500 МГц. Примем

D n = 300 МГц = 3·10 8 Гц.

Поток излучения во всей полосе частот равен

Сравнивая эту величину с энергией кванта 10 –17 эрг, приходим к выводу, что телескоп регистрирует в среднем приход трёх фотонов за секунду на один квадратный сантиметр. Здесь уже могут проявляться квантовые свойства излучения. Однако возникает непростой вопрос: как на площадке размером один квадратный сантиметр локализуется фотон с длиной волны 6 см. Этот вопрос мы рассмотрим ниже.

3) Атом. Характерная частота в данном случае равна частоте обращения электрона вокруг ядра и, согласно приведённым выше оценкам, составляет примерно ω

В этом случае дискретность энергетических уровней является основным фактором.

2.6 Предельные случаи формулы Планка

Сведения о предельных случаях больших и малых частот собраны в таблице. Слева — низкие частоты (область Рэлея–Джинса), справа — высокие (область Вина).

Показать с помощью формулы вина что

Большое число осцилляторов задействовано в колебаниях

Заселение возбуждённых состояний осциллятора экспоненциально малó

U ω d ω = ħ ω 3 exp(– ħ ω/ T ) d ω/( π 2 c 3 )

Формулы в последней строке таблицы представляют собой предельные случаи функции Планка.

2.7 Закон смещения Вина

Частота максимума ω max зависит от температуры. С целью приближённо оценить зависимость ω max ( T ) рассмотрим сначала виновскую область спектра. Виновское приближение для плотности энергии обозначим индексом «W». Согласно (4. 7 ), имеем:

Показать с помощью формулы вина что

Введём безразмерную переменную

Показать с помощью формулы вина что

и выразим через неё плотность энергии:

Показать с помощью формулы вина что

Показать с помощью формулы вина что

Максимум функции f W( x ) приходится на значение аргумента

Показать с помощью формулы вина что

Так как e 3 ≈ 20, то максимум действительно находится в виновской области спектра, причём ошибка приближения (7.5) не должна превосходить пяти процентов.

Уточним полученную величину частоты максимума. Для этого формулу Планка (4.7)выразим в безразмерной форме

Показать с помощью формулы вина что

Условие df / dx = 0 приводит к трансцендентному уравнению

Согласно решению задачи о максимуме функции Вина, будем искать корень последнего уравнения в виде x =3 –δ, предполагая малое значение δ. Запишем уравнение для δ:

и разложим экспоненту e δ по малому параметру

Уравнение из трансцендентного относительно x становится квадратным по δ:

Показать с помощью формулы вина что

Нужный нам корень равен

Показать с помощью формулы вина что

Подставляя полученное значение x в (7.2) и выражая температуру в градусах Кельвина, приходим к формулировке закона смещения Вина в шкале частот:

Показать с помощью формулы вина что

Здесь длина волны выражена в сантиметрах.

Показать с помощью формулы вина что

По аналогии с (7.2) введём безразмерную переменную

Как и выше, решение задачи определяется максимумом безразмерной функции, на этот раз

Показать с помощью формулы вина что

В приближении Вина имеем

Показать с помощью формулы вина что

Численно e 5 ≈ 150, поэтому в данном случае следует ожидать, что (8.3) ещё точнее, чем (7.5) и здесь ошибка не превышает одного процента.

Проделав выкладки, аналогичные выполненным в предыдущем разделе, для разности

Показать с помощью формулы вина что

Выпишем закон смещения Вина для распределения спектра по длинам волн:

(8.5) T · l max = 0.28979 см·К,

где температура выражена в градусах Кельвина, а длина волны — в сантиметрах.

Итак, максимум функции Планка приходится на разные длины волн, в зависимости от того, изучаем мы распределение по частотам или по длинам волн. Например, Солнце светит наиболее ярко на длине волны 5500Å, если измерения ведутся в шкале длин волн, и 8800Å — в шкале частот. Восприятие света человеческим глазом ближе к шкале длин волн. Поэтому в оценках положения максимума в спектре излучения Солнца обычно принято пользоваться формулой (8.5). Однако, если мы имеем дело со спектральным прибором, работающим в шкале частот — например, со спектральной решёткой, — то правильный результат даёт (7.6).

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *