Показать что линейная оболочка системы многочленов совпадает с пространством

Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства (Семинары по линейной алгебре)

Описание файла

Файл «Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства» внутри архива находится в папке «Семинары по линейной алгебре». Документ из архива «Семинары по линейной алгебре», который расположен в категории «лекции и семинары». Всё это находится в предмете «линейная алгебра и фнп» из второго семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «лекции и семинары», в предмете «линейная алгебра и фнп» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства»

Текст из документа «Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства»

Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.

Подпространства и линейные многообразия. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество L’ ⊂ L, которое обладает свойствами:

б) для всякого числа λ.

Если L’ − некоторое подпространство в L, то множество векторов

называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства L’ на вектор х₀.

Пусть Q − произвольная система векторов из линейного про­странства L.

Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов

а) − подпространство в L

б) dim = rank Q, причем в качестве базиса в можно взять любой базис системы Q.

Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.45–4.53 (неч.)

В задачах 4.45 − 4.49 требуется установить, являются ли заданные множества подпространствами в соответствующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность.

4.45. Множество всех геометрических векторов из V₃

а) компланарных фиксированной плоскости;

б) удовлетворяющих условию (x, a) = 0, где а − фиксированный вектор;

в) удовлетворяющих условию |х| = 1.

4.47. Множество всех векторов произвольного пространства L_n, координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют условиям:

4.49. Множество всех функций (см. задачу 4.4), удовлетворяющих условиям:

а) f(t₀) = 0 для некоторого ; б) f(t₀) = 1 для некоторого ; в) f(t) = a_n−1t n − 1 + . +a₁t + a₀ т. е. f(t) − многочлен степени не выше n − 1.

4.51. Найти размерность линейной оболочки арифметических векторов x₁ = (l, 0, 2, −1), x₂ = (0, −1, 2, 0). Показать, что .

Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы арифметических векторов:

Домашнее задание: 44.46, 4.48, 4.52, 4.54

4.46. Множество всех векторов из R n вида:

4.48. Множество всех матриц А порядка n, удовлетворяющих условиям:

а) А T = А (симметричные матрицы); б) det A = 0.

4.54. Показать, что линейная оболочка системы многочленов −3t 2 − 1, 2t 2 + t, −t совпадает с пространством P₃ всех многочленов степени .

4.45. а), б) Подпространство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеарных векторов из заданием о множества; в) не является подпространством.

4.46. а) Подпространство размерности n − 2; б) не является под­пространством.

4.47. Множества, указанные в пп. а), б), г), − полпространства, а множество из п. в) подпространством не является. Условие которому удовлетворяют координаты в любой из задач этой серии, можно записать в виде АХ = 0, где А − некоторая матрица, имеющая n столбцов, а X − столбец координат в фиксированном базисе Поэтому размерность соответствующею подпространства равна n − rank A, а в качестве базиса можно взять любую фундаментальную систему решений системы уравнении АХ = 0.

4.48. а) Подпространство размерности ; б) не является подпространством.

4.49. а) Бесконечномерное подпространство, б) не является подпространством; в) подпространство размерности п.

Источник

Показать что линейная оболочка системы многочленов совпадает с пространством

в задании3
Берете матрицу А
х1 х2
х3 х4
Умножаете на Ваш столбец, приравниваете
Решаете систему, там будет главных неизвестных и два свободных
Потом записываете матрицу А с учетом получившегося
Вообще матричное пространство матриц размера 2х2 (с действ. элементами) имеет размерность 4
Базис
10
00
==
01
00
==
00
10
==
00
01

==
Так вот решения данного матричного уравнения будут образовывать подпространство уже меньшей размерности. Базис уже будет не такой. Надо будет написать базис с учетом общего вида решений.

—————
В общем, вы начните и выкладывайте на проверку и конкретные вопросы задавайте
Полных решений я давать не могу, а разговаривать надо уже на конкретном материале

В номере:
каким образом мы складываем эти коэффиценты? почему мы берем, к примеру, 1-x^2 и 1-х?

wart №3
Ранг равен 2
присмотритесь внимательнее
в матрице 2 строчки и 5 столбцов
И потом я думаю, что в задаче требуется найти размерность матричного подпространства (то есть стоит после правильного решения еще потом вернуться к матрицам)
===

Если вы сказали да, то я так понимаю: у каждого многочлена сумма коэффициентов равна 0
Например многочлен
f1=1-x^2=1+0*x-1*x^2
коэффициенты равны 1,0,-1
их сумма равна 0

Спасибо большое, со второй задачей разобрался, а вот с третьей никак.

x1 x2. 2. (2*x1+x2)
x3 x4 умножить на 1 = (2*x3+x4)

Потом приравниваем к нулевой матрице, получаем:
(2*x1+x2) | 0
(2*x3+x4) | 0

Получилась матрица 2х1

потому что неизвестных у нас 4
2*x1+x2+0*х3+0*х4=0
0*х1+0*х2+2*x3+x4=0

х1 х2 х3 х4 |св.чл.
2. 1. 0..0.. |0
0. 0..2. 1. |0

Источник

Пересечение линейных оболочек

Кто нибудь подскажет как найти пересечение линейных оболочек векторов

Что то не могу найти конкретной информации с примером.

Каковы размерности линейных оболочек этих множеств?
Являются ли линейно независимыми системы действительных многочленов: Каковы размерности линейных.

Примеры линейных оболочек для какой-либо системы векторов
Пожалуйста, приведите примеры линейных оболочек для какой-либо системы векторов. Дано задание.

Производительность BASH и подобных оболочек
Доброго времени суток уважаемые! Недавно встала необходимость написать пару дюжин скриптов.

Ну вот смотрите я составил матрицу вида

дальше получается что то вроде
a1-b1-b3 =0
a2+b1-b2=0
a1+a2=0
-b2-b3=0

Что дальше? Или наверно правильнее было бы спросить, что такое «ядро»? Мучаю этот премер уже целый день, находил примеры с оболочками в которых одинаковое число векторов, но не знаю подходит ли решение к этому случаю.
http://static.diary.ru/userdir. 667005.jpg
http://static.diary.ru/userdir. 667021.jpg Вот ссылки на выдержки из книги, вариант б) подходит ли он в данном случае? или нет. Я просто путаюсь в терминах

И еще в примере, в книге(ссылка выше) написано: «M3 можно принять за свободное неизвестное», почему можно принять и что такое свободное неизвестное?

Простите,что загрузил, но хочу разобраться в этом.. Наставьте на путь истинный заблудшего..

Источник

Линейные пространства

Введение. Основные понятия и определения.

§1. Аксиоматика линейных пространств.

Определение. Линейным пространством L = <a,b,c,…> называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:

Рекомендуемые файлы

3..

4.

6.

Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:

Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.

Теорема 2. противоположный элемент – единственен.

Теорема 4.

Примеры.

§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.

Определение 2. Система элементов линейного пространства <a₁,…,a_n> называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 3. Система элементов линейного пространства <a₁,…,a_n> называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). a₁,…,a_n – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

<1.(необходимость: <a_k> – л.з. ): . Пусть, для определенности, а₁ – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): >

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

1) 2)

§3. Базис. Размерность. Координаты.

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) Система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):

Примеры. Базис на плоскости (V₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве R n (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n − (1,х,х 2 ,…,х n ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

(В силу Т.1 это определение корректно)

Будем писать: .

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. <б/д>

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

§4. Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.

Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество

элементов L, которое само является линейным пространством.

Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число и содержит нулевой элемент. (Все аксиомы выполняются автоматически).

Примеры. , множество решений однородной СЛАУ.

Определение 2. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы. Обозначают: rang.

Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либо базис этого пространства.

Теорема 1. (Основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы , линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.

, т.е. >

Следствие. Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов:

Глава 1. Теория матриц и системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

§1. Матрицы. Основные определения.

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Матрицу, состоящую из m строк и n столбцов, будем обозначать , а числа m и n называть ее размерами. Числа, составляющие матрицу, называют ее элементами. Элемент матрицы, стоящий в i−той строке и j−ом столбце обозначается (первый индекс – номер строки, второй – столбца). Таким образом:

Определение 2. Матрица, все элементы которой – нули, называется нулевой матрицей.

Определение 3. Две матрицы называются равными, если их размеры совпадают и все

соответственные элементы попарно равны: .

Определение 4. Матрица, все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А

(при этом, естественно, ее столбцы будут равны строкам А), называется транспонированной к А

Из определения сразу следуют несколько элементарных свойств:

1. Если .

2. .

3. .

Определение 5. Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (m = n)

Совокупность элементов квадратной матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, все элементы которой ниже (выше) главной диагонали равны нулю, называется верхней треугольной (нижней треугольной) матрицей.

Определение 6. Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю (), называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица с единичными элементами называется единичной матрицей.

Единичную матрицу будем обозначать буквой Е: .

Определение 7. Квадратная матрица называется симметричной, если А Т = А, т.е. a_ij = a_ji.

§2. Простейшие операции над матрицами и их свойства.

1. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов слагаемых:

Из определения сразу следует, что складывать (вычитать) можно только матрицы одинаковой размерности.

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой равен произведению элемента исходной матрицы на это число:

3. Произведение матриц.

Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме попарных произведений элементов i– ой строки матрицы А на элементы j – го столбца матрицы В:

Пример.

Замечания. 1) Умножать матрицы можно только в том случае, когда число строк правой матрицы равно числу столбцов левой. Отсюда следует, что при умножении не квадратных матриц, их нельзя менять местами по определению.

2) В случае умножения квадратных матриц, произведение, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей (т.е. произведение матриц не коммутативно).

3) Полезно заметить, что формула для вычисления элемента произведения совпадает с формулой вычисления скалярного произведения векторов в декартовой системе координат.

Определение. Если произведение двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей

(т.е. АВ = ВА), то эти матрицы называются перестановочными между собой.

Свойства арифметических операций.

>

Свойства арифметических операций для транспонированных матриц.

§3. Определитель квадратной матрицы и его свойства.

Одной из важнейших характеристик квадратных матриц является ее определитель или детерминант: . Дадим рекуррентное определение этого понятия.

1) Определитель второго порядка равен:

2) Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению трех определителей второго порядка. Каждый из них получается вычеркиванием строки и столбца, которые содержат элемент, стоящий перед этим определителем. Знаки перед слагаемыми вычисляются по формуле , где i и j − индексы этого элемента. Данная формула называется разложением определителя по первой строке. Определитель четвертого порядка выражается по этому же правилу через определители третьего порядка и так далее.

Утверждение. Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу <б/д>.

Перечислим без доказательства основные свойства определителей.

Определение. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

§4. Миноры и ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу . Выберем k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы ().

Определение 1. Минором k – го порядка матрицы А (обозначается М_k) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и столбцов матрицы А.

Определение 2. Рангом матрицы А (rang(A)) называется максимальный порядок минора, отличного от нуля. Т.е., rang(A) = r, если 1) , 2) Любой минор,

имеющий порядок r, называется базисным минором матрицы А. (Из определения сразу следует, что )

Строки и столбцы матрицы А, на которых строится базисный минор, так же называются базисными.

Имеет место очень важное утверждение:

Теорема о базисном миноре. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). <б/д>

Любую матрицу можно рассматривать как упорядоченную систему из m n – мерных или n m – мерных векторов. Теорема о базисном миноре позволяет доказать следующую фундаментальную теорему:

Теорема 1. Ранг матрицы равен рангу системы векторов, составляющих эту матрицу.

базисным, линейно выражается через базисные. Следовательно, ее можно исключить из

системы не изменив ранг самой системы (Введение, §4, Т.1). Отсюда получаем, что

rang(S) ≤ r. Но, если ранг будет строго меньше r, то одна из строк базисного минора будет линейной комбинацией остальных и M_r = 0 (§3,св.5), что противоречит условию. Таким образом – rang(S) = rang(A)>

Следствием Т.1 для квадратных матриц является обобщение свойства 5 §3:

Теорема 2. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

<Необходимость. Пусть det(A_n) = 0 r

Источник